2022年北京方致实验学校高二数学文期末试题含解析

2022年北京方致实验学校高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出。【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为。从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案。【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题。2.已知等比数列的前n项和为A，前2n项和为B，公比为q，则的值为（）A．q B．q2 C．qn﹣1 D．qn参考答案：D【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，分析可得=，由等比数列通项公式可得，an+1=a1qn，an+2=a2qn，…a2n=anqn，将其代入=中，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列的其前n项和为A，前2n项和为B，即A=Sn=a1+a2+…+an，B=S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n，B﹣A=an+1+an+2+…+a2n，则=，又由an+1=a1qn，an+2=a2qn，…a2n=anqn，故==qn；故选：D．3.以下程序运行后的输出结果为（

）A.17 B.19C.21 D.23 参考答案：C4.在集合上定义两种运算+和*如下*

+

那么*+A.

B.

C.

D.参考答案：A.由上表可知：+,故*+*，选A5.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D6.一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（） A． B．± C． D．±参考答案：B【考点】直线的斜率． 【分析】根据倾斜角的正弦值，由倾斜角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出倾斜角的余弦函数值，然后求出倾斜角的正切值即为此直线的斜率． 【解答】解：由sinα=（0≤α＜π）， 得cosα=±． 所以k=tanα==±． 故选：B． 【点评】本题考查直线的倾斜角以及同角三角函数的基本关系式的应用，直线的斜率的求法，是基础题． 7.化简复数=

（

）A．i

B．

－i

C．2

D．2i

参考答案：B8.到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．或参考答案：D9.已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A． B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．10.“”是“方程”表示双曲线的（

）.充分不必要条件

.必要不充分条件.既不充分也不必要条件

.充要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．月份x1234用水量y4.5432.5参考答案：1.75【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心代入回归方程得到a，再利用回归方程进行预测．【解答】解：==2.5，==3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+a，解得a=5.25．∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25．当x=5时，y=﹣0.7×5+5.25=1.75．故答案为：1.75．【点评】本题考查了线性回归方程的性质，利用线性回归方程进行预测求值，属于基础题．12.正三棱锥的底面边长为2，高为1，则此三棱锥的体积为

▲

．参考答案：13.已知圆的圆心在直线上，则

；圆被直线截得的弦长为____________.参考答案：2；814.设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为

．参考答案：5【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x+2=0的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，∵点P到直线x+2=0的距离为6，∴点p到准线x=﹣1的距离是6﹣1=5，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．15.已知是双曲线（）的左焦点,以坐标原点为圆心,为半径的圆与曲线在第一、三象限的交点分别为,,且的斜率为,则的离心率为

．参考答案：16.已知过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点，则k的值等于．参考答案：0或或【考点】抛物线的简单性质．【分析】易知符合条件的直线存在斜率，设直线方程为：y﹣1=k（x+1），与抛物线方程联立消掉y得x的方程，按照x2的系数为0，不为0两种情况进行讨论，其中不为0时令△=0可求．【解答】解：当直线不存在斜率时，不符合题意；当直线存在斜率时，设直线方程为：y﹣1=k（x+1），代入抛物线y2=x，可得k2x2+（2k﹣1+2k2）x+k2+2k+1=0，当k=0时，方程为：﹣x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；当k≠0时，令△=（2k﹣1+2k2）2﹣4k2（k2+2k+1）=0，解得k=或，综上，k的值等于0或或，故答案为：0或或．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．17.函数的定义域为

.

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax﹣lnx；g（x）=．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：若a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，当a＞1时，对于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）推导出，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用构造法和导数性质能证明a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由，a＞1时，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，，∵x＞0，∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，若x＞，则f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函数，若0＜x＜，则f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是减函数．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．证明：（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，∴，∴x∈[1，e]时，f′（x）＞0恒成立．f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=e，令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，则H′（x）=，x∈[1，e]时，H′（x）≤0，∴H（x）在[1，e]上单调递减，H（x）max=H（1）=e，∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．故a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．解：（3）∵，a＞1时，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]时，h′（x）＞0，h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，∴，∴．∴a的取值范围是[2，e+]．19.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC（1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．参考答案：【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．【解答】解：（1）由正弦定理得

sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．20.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2,0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1,1）在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程．参考答案：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3．又因为点T（－1,1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0． （2）由，解得点A的坐标为（0，－2）．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2,0），所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又r＝|AM|＝＝2．所以矩形ABCD外接圆的方程为（x－2）2＋y2＝8．21.如图，已知椭圆过点(1,)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．

（1）证明：－＝2；

（2）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意：＝,可得：a＝,b＝1,c＝2，

故所求椭圆方程为：＋y2＝1

（Ⅱ）（1）法一：F1(－1,0)，F2(1,0)∴PF1：y＝k1(x＋1)，PF2：y＝k2(x－1)

联立方程组解得：x＝，y＝∴P(，)在直线l：x＋y＝2上

∴＋＝2∴k1＋k2＋2k1k2＝2k2－2k1∴2k1k2＝k2－3k1∴－＝2

法二：设P(x0,y0)∴k1＝，k2＝∵点P不在x轴上∴y0≠0

∵x0＋y0＝2∴－＝－＝＝＝2，得证．

（2）∵∴(2＋1)x2＋4x＋2－2＝0∴xA＋xB＝－，xAxB＝，∴kOA＋kOB＝＋＝＋＝2k1＋k1·＝2k1－k1·＝－＝－，同理：kOC＋kOD＝－，∵kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0∴＋＝0，∴k1－k1＝－k2＋k2∴(k1＋k2)(k1k2－1)＝0