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文档简介
安徽省淮北市、宿州市2024年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.数列中,,,.当时,则n等于()A.2016 B.2017C.2018 D.20192.已知数列满足,则()A. B.C. D.3.已知双曲线的左右焦点分别是和,点关于渐近线的对称点恰好落在圆上,则双曲线的离心率为()A. B.2C. D.34.椭圆的()A.焦点在x轴上,长轴长为2 B.焦点在y轴上,长轴长为2C.焦点在x轴上,长轴长为 D.焦点在y轴上,长轴长为5.已知直线的斜率为1,直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°,则直线的斜率为()A.-1 B.C. D.16.如图,将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面,则异面直线AK和LM所成角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.90°7.将数列中的各项依次按第一个括号1个数,第二个括号2个数,第三个括号4个数,第四个括号8个数,第五个括号16个数,…,进行排列,,,…,则以下结论中正确的是()A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和8.已知实数,满足约束条件则的最大值为()A.10 B.8C.4 D.209.已知等差数列中,,则()A.15 B.30C.45 D.6010.如图,在三棱柱中,E,F分别是BC,中点,,则()A.B.C.D.11.已知等差数列前项和为,若,则的公差为()A.4 B.3C.2 D.112.曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA,FB,O为坐标原点,若四边形OAFB是菱形,则双曲线C的离心率等于()A. B.C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______.①不是等差数列,②是等比数列,③是递增数列14.已知是双曲线的左、右焦点,若为双曲线上一点,且,则__________.15.抛物线上的点到其焦点的最短距离为_________.16.若直线与函数的图象有三个交点,则实数a的取值范围是_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},其中a∈R.(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围;(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线:,点,过点的直线l与抛物线交于A,B两点:当l与抛物线的对称轴垂直时,(1)求抛物线的标准方程;(2)若点A在第一象限,记的面积为,的面积为,求的最小值19.(12分)已知点A(,0),点C为圆B:(B为圆心)上一动点,线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G(1)设点G的轨迹为曲线T,求曲线T的方程;(2)若过点P(m,0)()作圆O:的一条切线l交(1)中的曲线T于M、N两点,求△MNO面积的最大值20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.21.(12分)已知椭圆过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线,与直线和椭圆分别交于两点,(与不重合).判断以为直径的圆是否过定点,如果过定点,求出定点坐标;如果不过定点,说明理由.22.(10分)已知中,分别为角的对边,且(1)求;(2)若为边的中点,,求的面积
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式,再根据裂项求和法求得,代值计算即可.【题目详解】因为,,则,即,则,故,又,即,解得.故选:B.2、D【解题分析】根据给定条件求出数列的通项公式,再利用裂项相消法即可计算作答.【题目详解】因,则,所以,所以.故选:D3、B【解题分析】首先求出F1到渐近线的距离,利用F1关于渐近线的对称点恰落在圆上,可得直角三角形,利用勾股定理得到关于ac的齐次式,即可求出双曲线的离心率【题目详解】由题意可设,则到渐近线的距离为.设关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴MF1=2b,A为F1M的中点.又O是F1P的中点,∴OA∥F2M,∴为直角,所以△为直角三角形,由勾股定理得:,所以,所以,所以离心率故选:B.4、B【解题分析】把椭圆方程化为标准方程可判断焦点位置和求出长轴长.【题目详解】椭圆化为标准方程为,所以,且,所以椭圆焦点在轴上,,长轴长为.故选:B.5、C【解题分析】根据直线的斜率求出其倾斜角可求得答案.【题目详解】设直线的倾斜角为,所以,因为,所以,因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°,所以直线的倾斜角为,则直线的斜率为.故选:C6、D【解题分析】作出折叠后的正四棱锥,确定线面关系,从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【题目详解】由题知,折叠后的正四棱锥如图所示,易知K为的四等分点,L为的中点,M为的四等分点,,取的中点N,易证,则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角,在中,,,故故选:D7、D【解题分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项,最后一个数为数列的第1023项,进行分析求解即可【题目详解】由题意可得,第个括号内有个数,对于A,由题意得前9个括号内共有个数,所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项,所以第10个括号内的第一个数为,所以A错误,对于C,前10个括号内共有个数,所以C错误,对于B,令,得,所以2021为数列的第1011项,由AC选项的分析可得2021在第10个括号内,所以B错误,对于D,因为第10个括号内的第一个数为,最后一个数为,所以第10个括号内的数字之和为,所以D正确,故选:D【题目点拨】关键点点睛:此题考查数列的综合应用,解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项,考查分析问题的能力,属于较难题8、A【解题分析】根据约束条件作出可行域,再将目标函数表示的一簇直线画出向可行域平移即可求解.【题目详解】作出可行域,如图所示转化为,令则,作出直线并平移使它经过可行域点,经过时,,解得,所以此时取得最大值,即有最大值,即故选:A.9、D【解题分析】根据等差数列的性质,可知,从而可求出结果.【题目详解】解:根据题意,可知等差数列中,,则,所以.故选:D.10、D【解题分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【题目详解】,故选:D11、A【解题分析】由已知,结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.详解】由题设,,解得.故选:A12、A【解题分析】依题意可得为正方形,即可得到,从而得到双曲线的渐近线为,即可求出双曲线的离心率;【题目详解】解:依题意,,且四边形为菱形,所以为正方形,所以,即双曲线的渐近线为,即,所以;故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】由条件②写出一个等比数列,再求出并确保单调递增即可作答.【题目详解】因是等比数列,令,当时,,,是递增数列,令是互不相等的三个正整数,且,若,,成等差数列,则,即,则有,显然、都是正整数,,都是偶数,于是得是奇数,从而有不成立,即,,不成等差数列,数列不成等差数列,所以.故答案为:14、17【解题分析】根据双曲线的定义求解【题目详解】由双曲线方程知,,,又.,所以(1舍去)故答案为:1715、1【解题分析】设出抛物线上点的坐标,利用两点间距离公式建立函数关系,借助函数性质计算作答.【题目详解】抛物线的焦点,设点为抛物线上任意一点,于是有,当且仅当时取“=”,所以当,即点P为抛物线顶点时,取最小值1.故答案为:116、【解题分析】求导函数,分析导函数的符号,得出原函数的单调性和极值,由此可求得答案.【题目详解】解:因为函数,则,所以当或时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值,因为直线与函数的图象有三个交点,所以实数a的取值范围是,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】(1)由“”是“”的充分条件,可得,从而可得关于的不等式组,解不等式组可得答案;(2)“”是“”的必要条件,可得,然后分和两种情况求解即可【小问1详解】由题意得到A=[1,5],由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B,则,解得,故实数a的取值范围是.【小问2详解】由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A,当时,2-a>1+2a,即a<时,满足题意,当时,即a≥时,则,解得≤a≤1.综上a≤1,故实数a的取值范围是.18、(1).(2)8.【解题分析】(1)将点代入抛物线方程可解得基本量.(2)设直线AB为,代入联立得关于的一元二次方程,运用韦达定理,得到关于的函数关系,再求函数最值.【小问1详解】当l与抛物线的对称轴垂直时,,,则代入抛物线方程得,所以抛物线方程是【小问2详解】设点,,直线AB方程为,联立抛物线整理得:,,∴,,有,由A在第一象限,则,即,∴,可得,又O到AB的距离,∴,而,∴,,当,,单调递减;,,单调递增;∴的最小值为,此时,.19、(1)(2)1【解题分析】(1)可由题意,点G在线段AC的垂直平分线上,,可利用椭圆的定义,得到点G的轨迹为椭圆,然后利用已知的长度关系求解出椭圆方程;(2)可通过设l的方程,利用l是圆O的切线,通过点到直线的距离得到一组等量关系,然后将直线与椭圆联立方程,计算弦长,表示出△MNO面积的表达式,将上面得到的等量关系代入利用基本不等式即可求解出最值.【小问1详解】依题意有,,即G点轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设椭圆方程为由题意可知,,则,,所以曲线T的方程为【小问2详解】设,,设直线l的方程为,因为直线l与圆相切,所以,即,联立直线l与椭圆的方程,整理得,,由韦达定理可得,,所以,又点O到直线l的距离为1,所以当且仅当,即时,取等号,所以的面积的最大值为120、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解题分析】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先证明线线平行,再证明线面平行;第二问,可以先找到线面角,再在三角形中解出正弦值,还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(Ⅱ)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,所以AH=.在Rt△PAH中,PH==,所以sinAPH==.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),由得设x=2,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα==.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.考点:线线平行、线面平行、向量法.21、(1)(2)过定点,定点为【解题分析】(1)根据离心率及顶点坐标求出即可得椭圆方程;(2)当直线斜率存在时,设直线的方程为(),求出的坐标,设是以为直径的圆上的点,利用向量垂直可得恒成立,可得定点,斜率不存在时验证即可.【小问1详解】由题意得,,,又因为,所以.所以椭圆C
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