专题06有理数的分类与数轴

专题06有理数的分类与数轴1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类。2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；4.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写乘分数的形式呢？【思考2】请读出下列温度计的读数。【思考3。试画图表示这一情景。1.有理数的相关概念1）整数：正整数、、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．2）分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．3）有理数：整数和分数统称为有理数．4）有理数的分类：（1）（2）注意：整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；5）常用数学概念的含义1）正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负数，又是整数3）正分数：既是整数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数5）非正数：负数和06）非负数：正数和07）非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和02.数轴1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．2）数轴的画法①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．3）有理数与数轴的关系①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．考点1、有理数的概念辨析【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）下面的说法中，正确的是（

）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数【答案】C【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：A.正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误；B.无限不循环小数是无理数，故本选项错误；C.整数和分数统称为有理数，故本选项正确；D.整数包括零，故本选项错误；故选C．【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．例2．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．变式1．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．一个有理数不是整数就是分数．B．正整数和负整数统称整数．C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数．D．0是最小的整数．【答案】A【分析】依据有理数的概念和分类进行回答即可．【详解】解：A．一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故此选项符合题意；B．正整数和负整数和0统称为整数，原说法错误，故此选项不符合题意；C．正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；D．没有最小的整数，0是最小的自然数，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查有理数的概念和分类，掌握相关知识是解题的关键．变式2．（2022秋·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可．【详解】解：整数分为正整数，0和负整数，∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意；没有最小的整数，故（2）不符合题意；负数中没有最大的数，故（3）符合题意；自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意；有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意，整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意；零食整数但不是正数，故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意；非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意，综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．考点2、有理数的分类【解题技巧】正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数。例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，进行判断即可．【详解】解：，，，0，，……，中，，，0，是有理数，共5个；故选D．【点睛】本题考查有理数的定义．熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键．例2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）将下列各数填入所属的集合中：0，，，，，3.5，0.6，，10，，正数集合：{

…}；整数集合：{

…}；分数集合：{

…}；负整数集合：：{

…}；正分数集合：{

…}；【答案】见解析【分析】根据正数、整数、分数的概念，即可得出答案．【详解】正数集合：；整数集合：；分数集合：；负整数集合：；正分数集合：；【点睛】本题考查了正数、整数、分数的概念，掌握以上内容是解题的关键．例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．3.5，，0，，，3，，．（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示______数的集合．【答案】（1）见解析；（2）负分数【分析】（1）根据负数和分数的概念即可得出答案；（2）根据负数和分数的概念即可得出答案．【详解】（1）负数为：，，，；分数为：3.5，，，；既是负数又是分数的为：，；（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示负分数．【点睛】本题考查了分数和负数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．变式1．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考期中）在3.67，0，1，，，，中，非负整数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据非负整数的概念求解即可．【详解】解：，∴在3.67，0，1，，，，中，非负整数有：0，1，，共3个，故选：C．【点睛】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零．变式2．（2022秋·云南昆明·七年级校考期中）下列各数中，既是分数又是负数的是（

）A． B． C．0 【答案】A【分析】根据有理数的分类解答即可．【详解】解：是分数的只有和，而是负数的是，即选项A符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的定义及分类是解题的关键．变式3．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；【答案】(1)2，，(2)，，(3)2，(4)，【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】（1）解：正数有：2，，，故答案为：2，，；（2）解：负数有：，，；故答案为：，，；（3）解：整数有：2，；故答案为：2，；（4）解：分数有：，；故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．变式4．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域内）：，，，，，0，，，．【答案】答案见解析【分析】先填图中两个圆的公共部分的数，再添两边的数，从而可得答案．【详解】解：把各数分别填入如下图：【点睛】本题考查的是有理数的分类，掌握“有理数的分类”是解本题的关键．考点3、有理数中的新定义集合【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。例1．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数有理数（填“是”或“不是”）；(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；(3)在中，属于非负有理数的是．【答案】(1)是(2)(3)，0，【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法；（3）根据有理数的概念求解即可．【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是；（2）设，则，即，故，即，解得，即；（3）在中，属于非负有理数的是，0，，，故答案为：，0，，．【点睛】此题考查有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的概念．例2.（2022•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．变式1.（2022•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题．【解答】解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018﹣a，∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，∴该集合总共的元素个数是11.5×2＝23．故选：B．【点评】本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识．变式2.（2022•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合{−11【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是；（2）不是；理由如下：因为−112+12=10又因为−112+2+10【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．考点4、数轴的三要素及其画法【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….例1．（2023秋·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示【答案】D【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项可得，A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意；B．数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意；C．∵任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意；D、∵任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．例2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．变式1．（2023·河北衡水·二模）如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴的定义即可解答．【详解】解：由规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，结合图形即可得出点在数轴上．故选C．【点睛】本题考查数轴的定义．掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴是解题关键．变式2．（2022秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点其中正确的是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④【答案】D【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误；③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．变式3．（2023秋·山西晋中·七年级统考期中）数学课上老师让同学们画出数轴，下列作图表示数轴正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】判断数轴画得正确的标准：必须体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．【详解】解：A．画出的数轴，没有标出原点，故此选项不符合题意；B．画出的数轴，没有标出正方向，故此选项不符合题意；C．画出的数轴，数的位置标得不对，故此选项不符合题意D．画出的数轴正确，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查数轴的知识，关键是掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．考点5、用数轴上的点与有理数的关系【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.例1．（2023·广西贺州·统考一模）如图，数轴上点Q所表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据数轴上Q点的位置确定Q的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可．【详解】解：由图可知：点Q在的右边，0的左边，∴点Q表示的数大于，小于0，故选：C．【点睛】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出Q的取值范围是解答此题的关键．例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据刻度尺上“”在原点的左侧的位置即可求解．【详解】解：根据题意可知刻度尺上“”在原点的左侧的位置，∴刻度尺上“”对应数轴上的数为，故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．例3．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？【答案】(1)2(2)①；②点表示，点表示5【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论；（2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论．【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点，表示的点与数2表示的点重合；故答案为：2；（2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为，∴，∴6表示的点与数表示的点重合；故答案为：；②设折痕为点，则，点表示的数为，点表示的数为．【点睛】本题考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键．变式1．（2022秋·广西七年级期中）如图，数轴上的点、分别表示和，点在数轴上且到和的距离相等，则点表示的数是_____．【答案】【分析】根据数轴的特点解答即可．【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，∴点C表示的数为，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴上对应的点，熟记概念是解题关键．变式2．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示4的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．【答案】【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可．【详解】解：∵表示的点与表示4的点重合，∴折痕处所表示的数为：，∴3表示的点与数表示的点重合．故答案为：．【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键．变式3．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期末）数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（

）A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边【答案】D【分析】由于不知道数m的数值，所以不清楚点A与点C，点A与点B的位置关系，再根据点B，C分别表示数m，即可判断．【详解】解：∵m的数值未知，∴点A与点C，点A与点B的位置关系未知，∵点B，C分别表示数m，，即点B向左移动一个单位得到C，∴点C一定在点B的左边，故选：D．【点睛】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大是解题关键．考点6、利用数轴比较有理数的大小【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。例1．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）请写出一个大于且小于0的整数______．【答案】【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．【详解】解：∵大于且小于0的整数是．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．例2．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________．(2)在数轴上表示下列各数：0，，，．(3)把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来【答案】(1)，；(2)见解析；(3)．【分析】（1）根据数轴即可得到答案；（2）在数轴上表示出各数即可得到答案；（3）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可得到答案．【详解】（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是，故答案为：，；（2）解：在数轴上表示各数如下所示：（3）解：各数大小关系排列如下：．【点睛】本题考查了数轴，解题关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数．变式1．（2023·广西贺州·统考二模）已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）

【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：在n的左边，，故答案为：<．【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．变式2．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）写出所有比大的非正整数：____________________．【答案】【分析】在数轴上表示出，根据数轴的特点即可得出结论．【详解】解：由如图所示数轴可知比大的非正整数有，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键．变式3．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，【答案】数轴见解析，【分析】在数轴上表示出这些数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数即可得出答案．【详解】解：如图所示：由数轴可得：．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．考点7、数轴上两点之间的距离【解题技巧】在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a|(差的绝对值)。在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。例1．（2023·吉林长春·统考一模）在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（

）个单位．A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】由有理数的减法，数轴上两点之间的距离公式的几何意义求出点A和点B两点间的距离为2024个单位．【详解】∵表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，∴点A和点B之间的距离为故选：C．【点睛】本题综合考查了数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握数轴的应用．例2．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（

）A． B．4或 C．4或 D．或4【答案】B【分析】分两种情况，该点在的左边，该点在的右边，直接计算即可．【详解】解：当该点在的左侧时，表示的数为：，当该点在的右侧时，表示的数为：，在数轴上到的点的距离是7的点表示的数为或4，故选：B．【点睛】本题主要考查数轴，解决此题的关键是要注意到有两种情况，不要漏解．变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于4，则a的值为（

）A．或1 B．或2 C． D．1【答案】B【分析】先求出点A表示的数是4或，结合题意列出方程或，求出a的值即可．【详解】解：∵点A到原点的距离等于4，∴点A表示的数是4或，∵点A所对应的数用表示，∴或，解得或，故选：B．【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间的距离的意义是解题的关键．变式2．（2023·河北张家口·校考模拟预测）如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴上两点的之间即可得出答案．【详解】解：∵，点A表示的数为a，∴点B表示的数为，∵点C表示的数为，∴线段的长为，故选：D．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．考点8、数轴上的动点问题【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。例1．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】根据数轴的特点向左移动减，向右移动加，求解即可.【详解】解：，故选：C.【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的知识是解题的关键.例2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（

）A．0 B．或 C．4或 D．2或【答案】D【分析】设这个点原来所表示的数为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．【详解】解：设这个点原来所表示的数为，由题意得：，，，或，或，这个点原来所表示的数是2或，故选：D．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．变式1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（

）A．0 B． D．2【答案】B【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可．【详解】∵点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数故选：B．【点睛】本题考查本题考查的是数轴，关键是熟悉数轴上的点左减右加的知识点．变式2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动个单位长度到点，则点表示的数为______．【答案】2【分析】根据向右移加，向左移减进行求解即可．【详解】解：点表示的数是，向右移动个单位长度到点，点表示的数为：．故答案为．．【点睛】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算．变式3．（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是________．【答案】或【分析】首先分类讨论P的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可．【详解】因为，所以P在或处，所以，或所以或故答案为：或【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置．A级（基础过关）1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各数中，负有理数有（

）个，，，0，，120，，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：负有理数有、、，共3个，故选C．【点睛】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考期末）下列说法正确的是(

)A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6是分数，负数，也是有理数 D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数【答案】C【分析】根据整数，可以判断A，B，根据有理数的意义，可以判断C，D．【详解】解：A，0不是正数也不是复数，0是正数，故A错误；B，正整数和负整数不包括0，故B错误；C，-0.6是分数，负数，有理数，故C正确；D，0是最小的自然数，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查的知识点有：正数，负数，整数，分数，有理数，自然数的定义与特点，属于基础题．3．（2023·贵州黔东南·统考一模）在，，，四个数中，负数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据负号加上一个正数是负数进行判断即可求解．【详解】解：在，，，四个数中，负数有，，共个，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负数的定义是解题的关键．4．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）下列7个图中有（

）个是正确的数轴．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据数轴的定义：规定了原点、正方向，单位长度的直线；然后判断每个选项是否符合数轴的定义即可解决．【详解】解：①没有原点，不正确；②没有正方向，不正确，③、⑥有原点，正方向，单位长度，正确；④没有单位长度，不正确，⑤单位长度不一致，不正确，⑦正方向标记错误，不正确故选：C．【点睛】此题考查数轴的定义，解题关键在于掌握数轴的三要素．5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考阶段练习）下列说法中，错误的是（

）A．数轴上的每一个点都表示一个有理数B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取【答案】A【分析】根据数轴上点的特点逐项进行判断即可．【详解】解：A.数轴上有的点表示有理数，有的点不能用有理数表示，故A错误，符合题意；B.任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，故B正确，不符合题意；C.在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取，故C正确，不符合题意；D.在数轴上，与原点的距离是36.8的点有两个，分别为36.8、，故D正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上每一个点不一定能用有理数表示．6．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上点的位置比小，比大，据此即可求解．【详解】解：依题意，数轴上的点表示的数可能是，故选：C．【点睛】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．7．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在数轴上与距离等于个单位的点所表示的数是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】在数轴上与距离等于个单位的点，分为在表示的点的左边和右边两种情况，分别求出即可．【详解】解：设与距离等于个单位的点所表示的数为，由题意得：，，或，故选：D．【点睛】本题考查数轴上两点距离，掌握数形结合思想是解决此类题型的关键．8．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（

）A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小【答案】C【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可．【详解】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0，故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确；点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误．故选：C【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．9．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（

）A．在的左边 B．在3的右边 C．在原点与之间 D．在的左边【答案】D【分析】根据数轴的特征：左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，据此进行判断即可得到答案．【详解】解：，在的左边，故选D．【点睛】本题考查数轴的认识，解题关键是掌握数轴特征：左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小．10．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）一个点，从数轴的原点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】数轴上的点平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加．【详解】解：∵原点右边的数大于0，∴一个点从数轴上的原点开始，先向右移动5个单位长度表示的数是5，∵原点左边的数小于0，∴再向左移动7个单位长度，这时它表示的数是．故选：C．【点睛】本题考查了数轴上点的平移和数的大小变化规律，有理数的加减法运算，要熟练掌握．11．（2023·江苏淮安·七年级统考期末）下列各数中：，，0，，，，有理数有____个．【答案】5【分析】根据有理数的概念进行判断即可．【详解】解：有理数包括整数和分数，∴是有理数的有，共5个故答案为：5【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键．12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．，，，0，，13，，，，，(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案；（3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有：，，，故答案为：，，；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，，，故答案为：0，13，，；（3）据非负数的定义，非负数有：，，0，13，，，故答案为：，，0，13，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．13．（2022秋·四川巴中·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法．【答案】分成整数与分数或正数与负数都可以【分析】根据有理数的分类求解即可．【详解】分成整数和分数，即整数：，9；分数：0.3，，；分成正数与负数，即正数：0.3，，9；负数：，．【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）观察数轴，回答下列问题：(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；(2)大于并且小于的整数有哪几个？(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？【答案】(1)见解析(2)，，，(3)或【分析】（1）在数轴上表示出，，，即可；（2）结合数轴数出符合题意的数字即可；（3）根据题意，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：点、、如图所示（2）由数轴可知大于且小于的整数有，，，；（3）在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有或，即在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有或．【点睛】本题考查了数轴，数轴可以表示数的位置，也可以表示数的大小关系，到一个点距离相等的数有两个，数形结合是解题的关键．15．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：，，2，______<______<______<______.【答案】数轴见解析；；；；【分析】先把四个数表示在数轴上，然后根据数轴上点的特点，再比较大小即可．【详解】解：把，，2，表示在数轴上，如图所示：按从小到大的顺序排列为：．故答案为：；；；．【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小比较，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点．B级（能力提升）1．（2022·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（

） C．4 【答案】D【分析】根据点A，B在数轴上分别表示0，3，算出每厘米代表的数值，乘以即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，A，B在数轴上分别表示0，3，∴，∴C在数轴上所表示的数为：；故选D．【点睛】本题考查数轴上数字表示，解题的关键是根据的长度及数值得到每厘米代表的数值．2．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，在单位长度为1的数轴上，若点A、点B到原点的距离相等，则点C表示的数是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意确定原点在距离A点4个单位长度处，再求C点表示的数即可．【详解】解：∵A、B之间的距离是8个单位长度，点A，B到原点的距离相等，∴原点在距离A点右侧4个单位长度处，∴C点在原点右侧1个单位长度处，∴C点表示的数是1，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解题的关键．3．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在数轴上表示和5.2之间的整数有（

）．A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】D【分析】画出数轴，在数轴上找出和，进而可得出结论．【详解】解：如图所示，由图可知，数轴上和之间的整数有共8个．故选：D．【点睛】本题考查了数轴，理解数轴的三要素是解题的关键．4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）在，，0，，，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为________．【答案】3【分析】根据有理数的分类计算求和即可．【详解】∵，，0，，，，2，，，∴有理数有个，自然数有个，分数有个，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．5．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度．【答案】5【分析】先根据题意求出点对应的数是，根据数轴上两点距离公式求出的长即可得到答案．【详解】解：∵段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达，点A对应的数是，∴点对应的数是，∵对应的数是8，∴，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，正确求出点对应的数是是解题的关键．6．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.【答案】或1【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案．【详解】解：表示左边的点，比小2的数时，这个数是；表示右边的点，比大2的数时，这个数是；故答案为或1．【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论．7．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算．【详解】∵点A、B表示的数分别为、1，∴，第一种情况：点C在外，如图，；第二种情况：点C在内，如图，；故答案为：3或7．【点睛】本题考查数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题关键．8．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．【答案】、1或【分析】分在左侧，右侧，重合，三种情况分类讨论即可；【详解】解：①当重合时，即表示的数是1时，满足题意；②当不重合时，为的中点，在左侧时：表示的数是：；在右侧时：表示的数是：；综上：点在数轴上表示的数是、1或；故答案为：、1或．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是________________．【答案】或或【分析】讨论每次平移向右或向左平移即可得到答案．【详解】解：当两次都向左平移时，点B表示的数为；当两次都向右平移时，点B表示的数为；当第一次向右，第二次向左或第一次向左，第二次向右平移时，点B表示的数为；故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．10．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点，，，其中，．设点，，，所对应数的和是．（1）若以点为原点，此时的值为___________；（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，的值为___________．【答案】【分析】（1）利用数轴知识，确定原点后，确定点、分别表示的数，再求出的值；（2）利用数轴知识，先确定原点位置，再确定点，，，分别表示的数，再求出的值【详解】（1）∵点为原点，∴，，三点表示的数分别为：，，，∴，故答案为：（2）∵原点在图中数轴上点的右边，且，∴，，三点表示的数分别为：，，，∴，故答案为：【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．11．（2022·广东佛山·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，【答案】见解析【分析】根据有理数的分类逐项分析即可求解．【详解】解：如图所示，【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．12．（2022秋·七年级单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．翻折运动已知纸面上有一数轴，折叠纸面．

(1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合．(2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与_____表示的点重合；②若数轴上，两点之间的距离为在的左侧，且折痕与①折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；(3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，，那么数表示的点与数_______表示的点也重合．用含有，，的代数式表示【答案】(1)；(2)；，；(3)．【分析】（1）依据题意，求得折痕点表示的数，依据重合点到折痕点的距离相等，结合数轴上两点之间的距离为右侧数减去左侧数，即可求解；（2）①依据题意，求得折痕点表示的数，依据重合点到折痕点的距离相等，结合数轴上两点之间的距离为右侧数减去左侧数，即可求解；②依据题意，求得折痕点表示的数，依据重合点到折痕点的距离相等，结合数轴上两点之间的距离为右侧数减去左侧数，即可求解；（3）依据题意，求得折痕点表示的数，依据重合点到折痕点的距离相等，结合数轴上两点之间的距离为右侧数减去左侧数，即可求解；【详解】（1）解由题意可知，表示的点与表示的点重合，则折痕为：，表示的点在折痕左侧，且到折痕距离为，故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为，则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：，故答案为：；（2）①表示的点与表示的点重合，则折痕为：，表示的点在折痕右侧，且到折痕距离为：，故表示的点关于折痕的重合点在折痕左侧，到折痕距离为，则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：，故答案为：；②，两点之间的距离为，且在的左侧，故在折痕左侧，在折痕右侧，且、到折痕的距离均为：，则点表示的数为：，点表示的数为：，故答案为：，；（3）数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，，则折痕为：，当表示的点在折痕左侧，则表示的点到折痕距离为：，故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为，则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：，当表示的点在折痕右侧，则表示的点到折痕距离为：，故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为，则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：，综上所述，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，折叠的性质；熟练掌握折叠的性质及数轴上两点之间的距离是解题的关键．13．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________；(2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________；(3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄．【答案】(1)(2)12；21(3)爷爷67岁，小明15岁【分析】（1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度．（2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21．（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为，故答案为：；（2）解：由（1）可知这跟木棒的长为，∴A点表示为，B点表示的数是，故答案为：12，21；（3）解：借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，∴爷爷比小明大岁，∴爷爷现在的年龄为岁．∴小明现在的年龄为岁．【点睛】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键．14．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么．(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么．(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？【答案】(1)①，4；②，(2)(3)5(4)点N表示的数为3时，点P表示的数为；点N表示的数为时，点P表示的数为【分析】（1）结合数轴便可填出①，总结规律得出②；（2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案；（3）两点之间的距离=两点的差的绝对值，即可得到答案；（4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案．【详解】（1）①数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：；②数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：；故答案为，4，，；（2）∵，又∵点A在点B的左侧，∴，∴，故答案为；（3），故答案为5；（4）当N在M的右侧时，点N表示的数为：；点P表示的数为：；当N在M的左侧时，点N表示的数为：；点P表示的数为：．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，及数轴上点所表示数，运用数形结合思想和分类思想是本题关键．C级（培优拓展）1.（2022•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解．【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时，100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50，∴这个黄金集合的个数是24或25个；故选C．【点评】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．2．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据数轴可知在和0之间的整数有3个，在0和之间的整数有2个，即可得出答案．【详解】解：根据数轴可知：在和0之间的整数有，，，在0和之间的整数有，，共有5个整数，故选：C．【点睛】本题考查数轴，掌握用数轴上的点表示有理数是解题的关键．3．（2023·山东淄博·二模）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（

）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据A，B两点所表示的数分别是和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．【详解】解：∵A，B两点所表示的数分别是和2，∴线段的中点所表示的数．即点C所表示的数是．故选：A．【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键．4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数轴上有，两点，，之间的距离为2，点与原点的距离为3，那么点对应的数是______．【答案】或【分析】先据点A到原点的距离为3，求出点A表示的数，再根据点A、点B之间距离为2，即可求出答案．【详解】解：点与原点的距离为3，点A所表示的数为：3或，又A、B之间的距离为2，当点A所表示的数为3时，点B表示的数为1或5；当点A所表示的数为时，点B表示的数为或；综上所述，点对应的数是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了数轴上的点所表示的数与数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上点的特征以及数轴上两点距离求法，并学会用数形结合的方法是解题的关键．5．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为________．【答案】或1/1或【分析】分点B在点A左侧和右侧两种情况，利用数轴上两点距离公式求解即可．【详解】解：当点B在点A左侧时，∵点A表示的数为，，∴点B表示的数为；当点B在点A右侧时，∵点A表示的数为，，∴点B表示的数为；综上所述，点B表示的数为或1，故答案为：或1．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是________．【答案】或【分析】分情况讨论，①当点P在线段上时，设点P表示的数是x，根据数轴上A、B两点对应的数分别为和得，，即可得；②当点P在线段延长线上时，设点P表示的数是x，根据数轴上A、B两点对应的数分别为和得，，即可得；分别计算并检验，即可得．【详解】解：①当点P在线段上时，设点P表示的数是x，∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，∴，，∴，经检验，符合题意；②当点P在线段延长线上时，设点P表示的数是x，∵数轴上A、B两点对应的数分别为和，∴，，∴，经检验，符合题意；综上，点P表示的数是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是分情况讨论，正确计算．7．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，则的最小值为______．【答案】6【分析】根据题意得出，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．【详解】解：∵，点B为的中点，∴，当点P位于点A左侧时，如图所示，；当点P与点A重合时，如图所示，；当点P位于点A与点B之间时，如图所示：；当点P与点B重合时，如图所示，；当点P位于点B与点C之间时，如图所示：；当点P与点C重合时，如图所示，；当点P位于点C右侧时，如图所示，；综上可得：的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．8．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．【答案】2或10【分析】设时间为t秒，表示出点M、点N所表示的数，进而分情况表示他们到原点的距离，列方程求解即可．【详解】解：经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，则点M所表示的数为()，点N所表示的数为2t．①当点O是M、N的中点时，有，解得，．②当点M与点N重合时，有，解得，．故或10．故答案为2或10．【点睛】本题考查数轴表示数的意义，用两点在数轴上所表示的数，来表示两点之间的距离，列方程求解即可，解题关键是利用数形结合的思想进行转化．9．（2022秋·山西太原·七年级山西大附中校考期末）阅读与探究：我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“ration