三角形的三线三心

第十一章三角形

11.1.2三角形的高、中线

与角平分线八年级上册复习回顾

与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．如图，从△ABC的顶点Ａ向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高．ABCD

任意画一个△ABC,请你画出BC边上的高.ABC!

注意：要养成习惯，画好高线后，随手标明垂直的记号和垂足的字母.D合作探究获取新知

用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上高吗？动手试一试．合作探究获取新知

让学生分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，（提示同一小组的学生可分工完成）并在小组内讨论，通过各人所画的高线，你发现了什么？高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形小组内形成共识后，请合作填完下表．311相交不相交相交相交相交相交

再次思考：不同类型的三角形三条高线的交点位置有什么不同？合作探究获取新知归纳小结：三角形的三条高所在直线交于一点．分类讨论思想

锐角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形内部．

直角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在直角顶点上．

钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形外部．这一点叫做三角形的垂心复习回顾

与三角形有关的线段，高很重要外，还有三角形的中线也是重要线段．

如图，连接△ABC的顶点Ａ向它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．ABCD

任意画一个△ABC,请你画出BC边上的中线.!

注意：要养成习惯，画好中线后，随手标明中点字母.合作探究获取新知

用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上中线吗？动手试一试．

ABDC合作探究获取新知

请把自己画的三角形及其三条中线在小组内交流观赏一下，并在小组内讨论，通过各人所画的中线，你又发现了什么？小组内形成共识后，请各个小组之间进行交流．结论：三角形的三条中线交于一点．ABCD●●EFO拓展延申激发数学兴趣三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心．

课后探索

1、学有余力的同学可通过查阅资料了解：三角形的重心的意义？怎样确定基本图形的几何重心？

2、（选做）查阅资料了解：重心的物理意义？尝试了解质地均匀的三角形木板的重心及其平衡点？复习回顾

与三角形有关的线段，高和中线已经有所了解，还有三角形的角平分线也很重要．

如图，画∠Ａ的平分线AD，交∠Ａ的对边BC于点D，所得的线段AD叫做△ABC的角平分线．ABCD

任意画一个△ABC,请你画出过A点的三角形角平分线.!

注意：要养成习惯，画角平分线后，随手标明角平分线与对边交点的字母.合作探究获取新知

用同样的方法，你能画出△ABC的另两条角平分线吗？动手试一试．

ABDC合作探究获取新知

请自己画三角形及其三条角平分线,在小组内交流观赏一下.．结论：三角形的三条角平分线交于一点．ABCD●●EFO三角形的三条角平线的交点又会叫做什么呢？拓展延申激发数学兴趣辨析误区精益求精讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？小组交流讨论．抓住本质：三角形的角平分线是一条线段；

角的平分线是一条射线．三角形的重要线段概念图形几何语言表示三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的BC上高线.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段∵

AD是△ABC的BC上的中线.∴

BD=CD=

½BC.

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段∵.AD是△ABC的∠BAC的

平分线∴∠1=∠2=½∠BAC

归纳小结形成网络初步应用巩固知识练习1、如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ABC（D）（2）ABCD（1）ABCD（3）图（1）中∠B是锐角，高AD在△ABC的内部．答案：图（2）中∠B是直角，高AD与边

AB的重合．图（3）中∠B是钝角，高AD在△ABC的外部．2.填空：

（1）如图1，AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2

，

BD=

,AE=

．AF或BFCDAC∠2

∠ABC∠4初步应用巩固知识练习（2）如图2，AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1=

,

∠3=

,∠ACB=2

．3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．CEBC∠CAD∠BAC∠AFC巩固练习填空：

（1）BE=

=

；

（2）∠BAD=

=

；

（3）∠AFB=

=90°．巩固练习4.如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为(

)．A．2 B．3 C．4 D．6C5.下列说法正确的是(

)．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④ B．③ C．②③ D．①④B如图所示,在△ABC,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()．

D拓展延申A.是边BB′上的中线B.是边BB′