欧拉方程幂级数解法等

欧拉方程幂级数解法等第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期日欧拉方程的算子解法:

则计算繁!第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期日则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期日①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例2.解:

将方程化为(欧拉方程)

则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例3.解:

由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝1第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期日得通解为利用初始条件④得故所求特解为第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期日思考:

如何解下述微分方程提示:原方程直接令第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期日微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:

第七章第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期日一、一阶微分方程问题幂级数解法:将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为本质上是待定系数法第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例1.解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期日二、二阶齐次线性微分方程定理.则在－R<x<R内方程②必有幂级数解:②设P(x),Q(x)在(－R,R)内可展成x的幂级数,(证明略)此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例2.的一个特解.解:设特解为代入原方程整理得比较系数得:可任意取值,因是求特解,故取从而得当n>4时,第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期日因此注意到:此题的上述特解即为第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例3.解:求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为代入③:③第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期日整理后得:比较系数,得例如:第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期日于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期日常系数线性微分方程组解法举例解方程组高阶方程求解消元代入法

算子法第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期日常系数线性微分方程组解法步骤:第一步用消元法消去其他未知函数,得到只含一个函数的高阶方程;第二步求出此高阶方程的未知函数;第三步把求出的函数代入原方程组,注意:

一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数=未知函数个数一般通过求导得其它未知函数.如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数的关系.第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例1.解微分方程组①②解:由②得③代入①,化简得特征方程:通解:④将④代入③,得⑤第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期日原方程通解:注意:1)不能由①式求y,因为那将引入新的任意常数,(它们受②式制约).3)若求方程组满足初始条件的特解,只需代入通解确定即可.2)由通解表达式可见,其中任意常数间有确定的关系,第二十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期日例2.解微分方程组解:则方程组可表为⑥⑦用代数方法消元自作

根据解线性方程组的克莱姆法则,有第二十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期日