湖南省张家界市市永定区官黎坪街道办事处中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省张家界市市永定区官黎坪街道办事处中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数等于（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C2.为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度均为正数），则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：3.已知是第二象限角，且sin(，则tan2的值为A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知向量，，则与夹角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（

）

（A）12种

（B）18种

（C）36种

（D）54种参考答案：B略6.已知函数满足,且,则不等式的解集为（

）A．

B．

C． D．参考答案：B7.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：B略8.已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（?RB）=(

) A．（1，2） B．（1，2] C．（1，+∞） D．参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答： 解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜﹣3，解得：x＞1或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），由B中y=，得到≥0，即或，解得：x＞2或x≤﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣1，2]，则A∩（?RB）=（1，2]．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．9.设集合，，则（

）A．R

B．{0}

C．

D．参考答案：C10.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四面体ABCD中，且，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为______参考答案：34π【分析】利用勾股定理得出△ABC是直角三角形，且AC为斜边，可知CD⊥平面ABC时四面体ABCD的体积取最大值，再求出外接球的半径R，利用球的表面积公式得答案．【详解】∵，由勾股定理可得，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为，∴外接球的半径为，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为．故答案为：34π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.在复平面内，复数对应的点位于复平面的第

象限.参考答案：一略13.若命题“x∈R，”为假命题，则实数a的取值范围是_____．参考答案：[-1,7]14.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为

▲

．参考答案：略15.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①关于点P()对称

②的图像关于直线对称；③在[0，1]上是增函数；

④.其中正确的判断是

.(把你认为正确的判断都填上)参考答案：①②④16.已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．参考答案：【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为

．17.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．参考答案：考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据三角形的面积公式，求出c的值，再由余弦定理求出a的值即可．解答：解：由S△ABC=bcsinA，得：?1?c?sin=，解得：c=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2×=3，∴a=，故答案为：．点评：本题考查了解三角形问题，考查了三角形面积根式，余弦定理，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱中，侧面，与相交于点,是上的点，且平面，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值.

参考答案：（Ⅰ）证明：（法一）作中点,连结.因为是中点,所以, 又平面,且平面平面.所以，所以四边形是平行四边形.所以,所以是中点.……3分因为在中，，，，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面……6分证明：（法二）作中点,连结.因为是中点,所以，且平面,平面.所以平面,又平面,且.所以平面平面,又平面.所以平面,又平面且平面平面.所以,所以是中点.……3分因为在中，，，，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面.……6分（Ⅱ）解：因为，所以异面直线和所成角为直线和所成角，即在中，，所以.……8分由（Ⅰ）问知，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则,,所以，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取则，取

所以，即二面角的平面角的余弦值为.………12分19.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的服从正态分布．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．（i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；（ii）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位乙岗位丙岗位A960064005200B980072005400C1000060005000

李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由．附：若随机变量，则，．参考答案：（1）70，161；（2）（ⅰ）317人；（ⅱ）李华可以选择公司的甲岗位，公司的甲、乙岗位，公司的三个岗位．【分析】（1）由样本平均数定义直接计算即可得到平均数，由样本方差公式直接计算即可得到样本方差，问题得解。（2）（ⅰ）利用正态分布的对称性直接求解。（ⅱ）利用表中数据求得B公司的工资期望为7260（元），C公司的工资期望为6800（元），由表中数据即可抉择。【详解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70；样本方差s2＝（45－70）2×0.05＋（55－70）2×0.18＋（65－70）2×0.28＋（75－70）2×0.26＋（85－70）2×0.17＋（95－70）2×0.06＝161；（2）（i）由（1）可知，，，故评估成绩Z服从正态分布N（70，161），所以．在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人．（ii）李华可以选择A公司的甲岗位，B公司的甲、乙岗位，C公司的三个岗位．理由如下：设B、C公司提供的工资为XB，XC，则XB，XC都为随机变量，其分布列为公司甲岗位乙岗位丙岗位XB980072005400XC1000060005000P0.30.30.4

则B公司的工资期望：E（XB）＝9800×0.3＋7200×0.3＋5400×0.4＝7260（元），C公司的工资期望：E（XC）＝10000×0.3＋6000×0.3＋5000×0.4＝6800（元），因为A公司的甲岗位工资9600元大于B、C公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B、C公司的工资期望，故李华先去A公司面试，若A公司给予甲岗位就接受，否则去B公司；B公司甲、乙岗位工资都高于C公司的工资期望，故B公司提供甲、乙岗位就接受，否则去C公司；在C公司可以依次接受甲、乙、丙三种岗位中的一种岗位．【点睛】本题主要考查了平均数、方差、期望知识，考查了正态分布中的概率计算，考查了期望的应用，属于中档题。20.（本小题满分12分）过点向椭圆引两条切线，切点分别为B,C，且为正三角形.（Ⅰ）求最大时椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为，过的直线与轴交于点，与椭圆的一个交点为，且，求直线的方程参考答案：解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：

-------------2分

所以当时，取最大值；求得故椭圆的方程为

----------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：设，则

当时，有定比分点公式可得：21.(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.参考答案：解：由Sn=，得当n=1时，；当n2时，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.（2）由（1）知，n∈N﹡所以，，，n∈N﹡.22