湖北省襄阳市程河中学2021年高三数学理联考试卷含解析

湖北省襄阳市程河中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是(

) A．f（x）=x2 B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx参考答案：B考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答： 解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．2.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．多于4个参考答案：C3.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．4.不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）内，则r的最小值是（）A． B． C．1 D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）对应的圆心坐标为（0，），由图象知只需要点B（1，0）或A（﹣1，0）在圆内即可，即r≥==，在r的最小值为，故选：A．5.下列四个命题中正确命题的个数是

①“函数y=sin2x的最小正周期为”为真命题；②；③“若，则”的逆否命题是“若tana≠l，则”；④“”的否定是“”。(A)0

(B)1(C)2

(D)3参考答案：B6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10参考答案：A7.

把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为(

)

(A)线段

(B)不等边三角形

(C)等边三角形

(D)四边形参考答案：C解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，T8y2－20y+8=0，Ty=2或，相应的，x=0，或x=±．此三点连成一个正三角形．选C．8.记为正项等比数列的前n项和，若，且正整数m、n满足，则的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：C解：由知：

∵∴即∵∴即∴即9.已知，命题，则（

）A．是假命题;B．是假命题;C.是真命题;

D.是真命题

参考答案：D10.已知函数f(x)满足，设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“”与“”的关系.【详解】若，则，故“”是“”的必要条件，取，若，则或，故“”推不出“”，故“”是“”的不充分条件，综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是

．

参考答案：考点：分段函数，抽象函数与复合函数，函数图象零点与方程作函数f(x)的图像，若函数有三个零点，

即有三个不同的交点，

所以由图像知：

故答案为：12.已知实数x,y满足，则的取值范围为___________________.参考答案：【分析】作出可行域，由得，平移直线，数形结合可得的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示由得，则为直线在轴上的截距.平移直线，当直线过点时，z有最小值0.当直线过点时，z有最大值.解方程组得，即点，.故的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.13.若函数则

。参考答案：答案：2414.过点与曲线相切的直线方程是______________.参考答案：略15.设函数.若其定义域内不存在实数x，使得，则a的取值范围是

.参考答案：若，则，符合题意若，则的定义域为，所以，其中显然时，可取负值，所以不符合题意若，再对进行讨论：当时，即时，则，定义域为，显然符合题意当时，即时，的定义域为，此时，恒成立，符合题意?当时，即时，的定义域为，取，其中显然时，可取负值，所以不符合题意故本题的正确答案为16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且△ABC的面积为，则ab最小值为_______．参考答案：48【分析】根据条件和余弦定理，求得，进而可得。结合三角形面积公式，可得，代入条件式可得的关系，结合不等式即可求得的最小值。【详解】在中，结合余弦定理可得所以由三角形面积公式，可得代入化简可得代入中可得因为所以解不等式可得所以最小值为【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题。17.设直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2=

．参考答案：﹣4或﹣14【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出弦长，计算△ABC的面积，从而求出直线的斜率与方程．【解答】解：直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R），直线l的方程可化为：（﹣x+y）+m（x+2y+3）=0，可得，直线恒过：（﹣1，﹣1）．圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）的圆心（1，0），半径为：r．圆心C到直线l的距离为：d==；所以三角形ABC的面积为S△ABC=≤r2，=4，解得r=2，此时d==2．所以=2，解得m=或m=﹣所以，mr2=﹣4或﹣14．故答案为：﹣4或﹣14．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3，四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，规定两个小球号码相加之和：等于5中一等奖、等于4中二等奖、等于3中三等奖.（Ⅰ）求中三等奖的概率；（Ⅱ）求中奖的概率.参考答案：解：两个小球号码之和等于3中三等奖，两个小球号码之和不小于3则中奖。设“中三等奖”的事件为A，“中奖”事件为B。从四个小球中任选两个共有（0,1），（0,2），（0,3），（1，2），（1,3），（2,3）共6种不同的方法。---------------------------------------------------------------------4分（Ⅰ）两个小球相加之和等于3的取法有（0,3），（1,2）2种，所以-----------------8分（Ⅱ）两个小球相加之和等于1的取法有（0,1）1种两个小球相加之和等于2的取法有（0,2）2种所以---------------------------------------------12分19.随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况

在300M∽400M之间，求的期望；

（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；

（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关

关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数5085115140160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考答案：（Ⅰ）依题意，∽，故；

（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；

（Ⅲ)由题意可知，

，

，

所以，关于的回归方程为：20.（12分）已知向量．(Ⅰ)当时，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期。参考答案：解析：（Ⅰ）由已知得

＝…………7分（Ⅱ）

所以21.已知a为实常数，函数f(x)＝lnx－ax＋1．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：＜x1＜1，且x1＋x2＞2．（注：e为自然对数的底数）参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为．其导数． ……1分①当时，，函数在上是增函数； ……2分②当时，在区间上，；在区间上，．所以在是增函数，在是减函数． ……4分（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，（6分）此时，，且，令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范围是，． ……8分（ⅱ）证法一：.设..当时，；当时，；所以在上是增函数，在上是减函数.最大值为.由于，且，所以，所以.下面证明：当时，.设，则.在上是增函数，所以当时，.即当时，..由得.所以.所以，即，，.又，所以，.所以.即.由，得.所以，． ……12分（ⅱ）证法二：由（Ⅱ）①可知函数在是增函数，在是减函数.所以.故第二部分：分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证明：构造函数：则所以函数在区间上为减函数.,则,又于是.又由(1)可知.即． 略22.

某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：ξ0123P0.12ab0.12

（1）求p，q的值；

（2）求数学期望Eξ参考答案：解：（1）用A表示“该生语文课程取得优秀成绩”，用B表示“该生数学课程取得优秀成绩”，用C表示“该生英语课程取得优秀成绩”，由题意得P（A）=0.5，P（B）=p，P（C）=q，p＜q，P（）=（1﹣0.5）（1﹣p）（1﹣q）=0.12，P（ABC）=0.5pq=0.12，解得p=0.4，q=0.6．