三数学第三次诊断性考试试题文含解析试题

2022年二月八日。2022年二月八日。2021届高三数学第三次诊断性考试试题 文〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使；而都那。审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅日期：2022年二月八日。考前须知：答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上．皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答复非选择题时，将答案写在答题卡上．写在套本套试卷上无效．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回．一、选择题：本大题一一共 12小题，每小越5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只一项是哪一项符合题目要求的．，，,那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义可得所求结果．【详解】∵，∴．应选B．【点睛】此题考察集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于根底题．2.为虚数单位，复数2.为虚数单位，复数满足，那么〔〕A.B.C.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法求出复数 的代数形式，然后再求出 即可．【详解】∵ ，∴ ，∴ ．应选C．【点睛】此题考察复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是求出复数的代数形式，属于根底题．3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如下图的折线图是 年和 年的中国仓储指数走势情况． 根据该折线图，以下结论中不正确的选项是 〔 〕年月至月的仓储指数比 年同期波动性更大年、 年的最大仓储指数都出如今 月份年全年仓储指数平均值明显低于 年年各月仓储指数的中位数与 年各月仓储指数中位数差异明显【答案】D【解析】【分析】根据给出的折线图对四个选项进展分析、判断后可得不正确的结论．【详解】对于 由图可得 年月至月的仓储指数变化平缓，而 年月至月的仓储指数的波较大，所以A正确．对于由图可得 年、 年的最大仓储指数都出如今 月份，所以B正确．对于，由图可得4月份两年的仓储指数一样，91112月的仓储指数2021年比2021年低，其余个月份都是2021年的低，并且有明显的差异，所以年全年仓储指数平均值明显低于年，所C正确．对于51.5左右，差异不大，所以D不正确．应选根底题．的图象在 处的切线斜率为〔 〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数 的导函数，然后根据导数的几何意义可得切线的斜率．【详解】∵ ，∴ ，∴ ，∴函数 的图象在 处的切线斜率为应选【点睛】根据导数的几何意义可得导函数在 时的函数值 即为曲线 在点 处切线的斜率，解题时注意对题意的理解，属于简单题．的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，那么 的解析式为〔 〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为．应选A．【点睛】解题中容易出现的错误是无视在横方向上的平移只是对变量 而言的这一结论，当 的系数不是1时，在解题时需要提出系数、化为系数是 1的形式后再求解．6.以下函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是〔〕A. B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对选项里面的每个函数分别从奇偶性和单调性两个方面进展分析、判断即可得到正确的结论．【详解】对于函数为奇函数，但在 无单调性，所以A不合题意．对于由于 ，所以函数 为偶函数，所以B不合题意对于函数 为奇函数，且在 上单调递增，所以 C符合题意．对于函数 为奇函数，当 时， ，所以 ，所以函数 在 上单递减，在 上单调递增，不合题意．应选C．【点睛】此题考察函数的单调性和奇偶性的断定，解题的关键是熟悉常见函数的性质，属于根底题．，满足那么的最大值为〔〕A.【答案】AB.C. D.【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，然后根据 的几何意义求解即可．【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影局部所示．由题意得 表示可行域内的点 到原点间隔的平方结合图形可得，可行域内的点 到原点的间隔 最大，且最大间隔 为 ，所以 的最大值为应选【点睛】解答线性规划问题的两个注意点：一是正确画出不等式组表示的可行域；二是根据目的函数几何意义求解，判断出是截距型、斜率型还是间隔 型，然后结合图形求解，属于根底题．8.一个封闭的长方体容器中装有两个大小一样的铁球，假设该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为，， ，那么铁球的直径最大只能为〔 〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出长方体的三条棱的长度，最长棱的一半即为球的直径的最大值．【详解】设长方体三条棱的长分别为 由题意得 ，解得 ．再结合题意可得，铁球的直径最大只能为 应选【点睛】此题考察长方体的有关计算和空间想象才能，解题时要明确当球与长方体的对面都相切时半径最大，故只需求出长方体的最长棱即可，属于根底题．： 的两个焦点分别为 ，以原点为圆心， 为半径作圆，与双曲线 相交．设顺次连接这些交点和 ，恰好构成一个正六边形，那么双曲线 的离心率为〔 〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线和圆在第一象限的交点为 根据正六边形可得点 的坐标，然后再根据点 在双曲线上得间的关系式，于是可得离心率．【详解】由题意得，以原点 为圆心的圆的半径为 设双曲线和圆在第一象限的交点为 ，由正六边形的几何性质可得 ，∴点的坐标为 ．又点在双曲线 上，∴ ，整理得 ，∴ ，解得 或者 又 ，∴ ，∴ ．应选C．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线根本量 的方程或者等式，利用 和 转化为关于e的方程或者不等式，通过解方程或者不等式求得离心率的值或者取值范围．中，分别为角的对边，假设，且的面积那么 〔 〕A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据 及三角形的面积公式和余弦定理得到 ，进而求得 ，然后再根正弦定理可得所求．【详解】∵ 及 ，∴ ，整理得 又 ，∴ ．由正弦定理得 ，∴ ．应选D．【点睛】此题考察正弦定理解三角形，此类问题常与三角形的面积和余弦定理结合在一起考察，解题时注意各公式间的关系及灵敏应用，属于根底题．： 的焦点为 ，点 ，直线 与抛物线交于点〔在第一象限内)，与其准线交点，假设 ，那么点到轴间隔为〔 〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为过点作抛物线准线的垂线，垂足为．根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点．过点作抛物线准线的垂线，垂足为，那么，∴，∴,∴直线的倾斜角为，∴，解得．又由得，即，∴．设，那么，∴，∴，又点在第一象限，∴，即点 到轴间隔为．应选【点睛】此题考察抛物线定义的运用和平面几何图形的性质， 解题的关键是根据平面图形的性质得到直线 的斜角，进而得到参数 ，然后再根据定义进展转化后可得所求间隔 ，属于中档题．，且 ， ， ，那么 的值是〔 〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设 用表示出 然后根据对数的运算性质和换底公式进展变形求解可得 所在的范围，进而得到答案．【详解】设，那么，∴．∵，∴；又，∴，即．∴ ．应选C．【点睛】此题考察对数的换底公式、对数的性质以及根本不等式，具有一定的灵敏性和难度，解题的键是用参数表示出 ，考察变换和计算才能．二、填空题：本大题一一共 4小题，每一小题5分，一共20分．那么 ．【答案】1.【解析】【分析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果．【详解】由题意得 ．故答案为：1．【点睛】此题考察分段函数的求值，解题时根据函数中不同的范围对应的解析式求解，属于简单题．，是第二象限的角，那么 ．【答案】 .【解析】【分析】由 求得 ，再根据平方关系得到 ，于是可得所求．【详解】∵ ，又是第二象限的角， ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为： ．【点睛】解题中在运用平方关系求值时要注意所求值的符号，此题考察同角三角函数关系式，属于简单题．的面积为 ，且 ，那么 ．【答案】 .【解析】【分析】由 的面积为 可得 ，再由 可得 ，然后根据以上两式得到，由此可得 ．【详解】∵ 的面积为 ，∴ ①．∵ ，∴ ②．由①②两式得 又 ，∴ ．故答案为： ．【点睛】解答此题容易出现的错误是认为向量 的夹角为，从而得到错误的结果．考察向量的数积和三角形的面积公式，关键是从两个条件中消去 得到角的正切值．在?九章算术?中有称为“羡除〞的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除〞的有三条棱互相行的五面体，其三视图如下图，那么该五面体的体积为 ．【答案】24.【解析】【分析】由三视图得到五面体的直观图，然后根据几何体的构造特征，利用分割的方法求得其体积．【详解】由三视图可得，该几何体为如以下图所示的五面体 ，其中，底面 为直角三角形，且 ，侧棱 与底面垂直，且．过点 作 ，交 分别于 ，那么棱柱 为直棱柱，四棱锥 的底面为矩形 ，高为 所以 ．故答案为： ．【点睛】此题考察三视图复原几何体和不规那么几何体体积的求法，考察空间想象才能和计算才能，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于根底题．三、解答题：一共 70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第 17~21题为必考题，每试题考生都必须答题．第 22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共 60分．满足 ， ．〔1〕求证：数列 是等差数列；〔2〕假设 ，求数列 的前项和 ．【答案】(1)见解析〔〕 .【解析】【分析】〔1〕由 变形可得 ，由此可得数列 为等差数列．〔2〕由〔得到 ，进而得到 ，然后利用列项相消法求和即可．【详解〔1〕∵ ，∴ ，又 ，∴数列 是以为首项，公差为 的等差数列．〔2〕由〔1〕知 ，∴ ．∴ ，∴ ．【点睛】用裂项法求和的裂项原那么及规律裂项原那么：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．目前有声书正受着越来越多人的喜欢．某有声书公司为理解用户使用情况，随机选取了 名用户统计出年龄分布和用户付费金额〔金额为整数〕情况如以下图．有声书公司将付费高于 元的用户定义为“爱付费用户〞， 将年龄在 岁及以下的用户定义为“年轻户〞．抽取的样本中有 的“年轻用户〞是“爱付费用户〞．〔1完成下面的 列联表，并据此资料，能否有 的把握认为用户“爱付费〞与其为“年轻用户有关？爱付费用户 不爱付费用户 合计年轻用户合计〔假设公司采用分层抽样方法从“爱付费用户〞中随机选取 人再从这人中随机抽取 人进展访谈求抽取的人恰好都是“年轻用户〞的概率．．【答案〔1〕有 的把握认为“爱付费用户〞和“年轻用户〞有关； 〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据题意可得列联表，然后根据表中的数据求出 后与临界值表中的数据对照后可得结论． 〔2根据古典概型概率公式求解可得所求概率．【详解〔1〕根据题意可得 列联表如下：爱付费用户 不爱付费用户 合计年轻用户合计由表中数据可得 ，所以有 的把握认为“爱付费用户〞和“年轻用户〞有关．〔2由分层抽样可知，抽取的 人中有人为“年轻用户〞，记为 ， ， ， ，人为“非年轻用户〞记为．那么从这人中随机抽取 人的根本领件有： ， ， ， ， ，， ， ， ， ，一共 个根本领件．其中满足抽取的 人均是“年轻用户〞的事件有： ， ， ， ， ， 一共个．所以从中抽取 人恰好都是“年轻用户〞的概率为 ．【点睛】HY性检验的方法是得到列联表后求出 的值后与临界值表进展对照后得到结论， 查表时要根题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的 值与求得的 相比拟．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性 ，所以其有关联的可能性为 ．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，平面 平面 ，且 ，，为 的中点， ．〔1〕求证： 平面 ；〔2〕求三棱锥 的体积．【答案〔1〕证明见解析；〔〕 .【解析】【分析】〔1〕连接 ，交 于点，连接 ，根据三角形中位线的性质可得 ，再根据线面平行的断定可得结论成立．〔〕在 中由余弦定理得 ，于是 ．在平面 内，作 ，交 延长线于 ，由条件可得 平面 ，即 为点 到平面 的间隔，然后再结求解可得所求．【详解〔1〕证明：连接 ，交 于点，连接 ．∵为 的中点，为 的中点，∴ 为 的中位线，〔〔2〕在中，，，由余弦定理得，∴．∴．∵，且 为的中点，∴．在中，．在平面内，作，交的延长线于 ．∵平面平面，平面平面,∴平面．即为点到平面的间隔．∵点为的中点，∴点到平面的间隔是长度的一半．在中，，∴．∴又，且平面，．平面，∴平面．【点睛】在求空间几何体的体积时，要注意分清几何体的形状，对于形状规那么的几何体可直接根据公式求其体积；对于形状不规那么的几何体，可根据“分割〞或者“补形〞的方法转化为形状规那么的几何体再求其体积．20.是焦距为的椭圆：的右顶点，点，直线交椭圆于点段的中点．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，假设 ，求直线的斜率．【答案〔1〕 〔2〕 .【解析】【分析】〔1〕由焦距为 可得 ，再根据 在椭圆 上得 ，于是 ，进而得到椭圆方程．〔将直线方程与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系得 ， ，再根据得 ，构造 ，代入 后可得所求斜率．【详解〔1〕由题意得焦距 ，∴ ．又点 在椭圆上，∴ ，解得 ，∴ ．∴椭圆的方程为 ．〔2〕根据题意得直线 的方程为 ，即 ．由 消去整理得 ．∵直线与椭圆 交于∵直线与椭圆 交于、两点，∴设，，，解得．那么∵∴，且，，．，，∴，即．∴∴．∴ ，解得 ，满足 ，∴ ．即直线的斜率 ．【点睛】由于圆锥曲线的问题都涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，利用“设而求〞、“整体代换〞等方法，以减少运算量、进步解题的效率，此题中利用 ，构造后利用整体代换求解就是一种很好的简化运算的方法．另外，不要无视判别式的限制．，对于任意的 ， 恒成立．〔1〕求的取值范围；〔2〕设，当取最小值且时，试比拟与在上的大小，并证明你的结论．【答案】〔1〕；〔2〕，证明见解析.【解析】【分析】〔求出实数的取值范围即可，然后根据参数讨论法求解即可得到所求． 〔〕结论为 ．假设证不等式成立，即证当 取最小值且时成立，也即证．设 ，分析其单调性那么得；令，那么可得 ．从而可得 成立．【详解〔1〕∵ ，∴．①当 时，得 ，那么 在 上单调递减又 ，∴ 不恒成立．②当 时，由 ，解得 ．〔ⅰ〕当 ，即 时，可得 在 上单调递减，在 上单调递增要使得 恒成立，那么 ．令 ，那么 ，∴ 在 上单调递增又 ，所以所以恒成立，不合题意．〔ⅱ〕当，即时，在上单调递增．由，得恒成立．综上可得．∴实数的取值范围为．〔2〕．证明如下：由〔〕得当 取最小值时；当时，．故只需证，即证即可．令，那么．由，解得；由，解得，∴在上单调递减，在上单调递增．故．令，那么．由，解得；由，解得．∴在上单调递增，在上单调递减．故．又，故成立．∴．【点睛】〔1〕解决恒成立问题的常用方法是参数别离法和参数讨论法，对于参数别离无法解决的问题那么需要用参数讨论法求解，解题时需要根据题意对参数进展合理的分类，然后通过逐步讨论排除不合题意的局部．〔2〕证明不等式 时，可构造函数 ，然后通过求出函数 的最值后得到不式成立；有时也可通过证明 来得到结论成立．〔二〕选考题：一共 10分．请考生在第22，23题中任选一题做答．假如多做，那么按所做的第一题分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 的极坐标方