基本图像变换

基本图像变换第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日第3章图像变换数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像编码等处理中。3.1傅立叶变换3.2离散余弦变换3.3Hough变换3.4小波变换第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.1可分离和正交图像变换将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转换方法就被称为图像变换技术。变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。图像变换的定义第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日一、可分离变换1-D可分离变换T(u)为f(x)变换，h(x,u)称为正向变换核。同理，反变换可以表示为：k(x,u)称为反向变换核。第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日2-D可分离变换和分别称为正向变换核和反向变换核。如果，下式成立：则称正向变换核是可分离的。如果h1和h2的函数形式一样，则称正向变换核是对称的。第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.2-D可分离变换的计算首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：f(x,y)(0,0)YX(N-1)T(u,v)(0,0)VU(N-1)T(x,v)(0,0)VX(N-1)列变换行变换第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日二、正交变换当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式可写为矩阵形式

其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素为，T是输出的N*N变换结果。为了得到反变换，对上式两边各乘一个反变换矩阵B:如果B=A-1,则：如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余和操作次数。在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩阵，相应的变换为正交变换。第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日对连续傅立叶变换的复习若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换：具有有限个间断点具有有限个极值点绝对可积狄利赫莱条件一维连续傅立叶变换令ω=2πu，则有第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日二维连续傅立叶变换如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅立叶变换对：连续傅立叶变换的性质可分性2.线性3.共轭对称性4.旋转性5.比例变换特性6.帕斯维尔定理（能量保持定理）7.相关定理8.卷积定理第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日1.可分性该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换实现第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日2.线性3.共轭对称性4.旋转性5.比例变换特性第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日6.帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）说明变换前后不损失能量。7.相关定理第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.1傅里叶变换傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学上建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日一个2-D离散函数的平均值可用下式表示：3.1.12-D离散傅里叶变换（DFT）第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日比较以上两式：2-D离散函数傅里叶变换的频谱（幅度函数）、相位角、和功率谱（频谱的平方）定义如下：正反傅里叶变换都是可分离和对称的：第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.1.2傅里叶变换定理设f(x,y)和F(u,v)构成一对变换，即则有以下一些定理成立：1.平移定理由上式可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日2.旋转定理由上式可知，对f(x,y)旋转相当于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转；对F(u,v)旋转相当于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转。3.尺度定理（相似定理）上式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的相应尺度变化；对f(x,y)在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频域尺度方面的相反放缩。而且会导致幅度的变化。将f(x,y)和F(u,v)转换为和借助极坐标第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日4.剪切定理5.组合剪切定理组合剪切的坐标变换：第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日6.仿射定理其中行列式为：7.卷积定理第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日8.相关定理3.1.3快速傅里叶变换快速傅立叶变换简称为FFT。算法根据分解特点一般有两类：一类是按时间分解，一类是按频率分解。FFT运算蝶式流程图（阮秋琦《数字图像处理学》）以一维离散傅立叶变换为例，要完成整个变换需要N2次乘法和N(N-1)次加法。而整个快速傅立叶变换需要log2N*N/2次复数乘法和log2N*N/2此复数加法，N越大，快速算法的优越性越显著。关于快速算法的结论第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.2离散余弦变换（DCT）1.变换的定义1-D离散余弦变换和其反变换的定义：离散余弦变换（DCT）在图像压缩编码中得到广泛应用，它是国际静止图像压缩标准JPEG的基础，也是国际序列图像压缩标准MPEG-1和MPEG-2中采用的变换方法。第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日其中，a(u)为归一化加权系数，由下式定义：2-D离散余弦变换和其反变换定义：第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日2.变换的计算离散余弦变换可以利用傅立叶变换的实部计算来实现：其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：可见，g(x)的前半部分是f(x)的偶数项，后半部分是f(x)奇数项的逆排。可以将N点离散余弦变换的计算转化为对N点离散傅里叶变换计算。第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.3Hough变换在数字图像处理中，Hough变换属于特征提取技术，它由PaulHough于1962年提出，最初只是用于二值图像直线检测，后来扩展到任意形状的检测，现在常用的变换技术称作广义Hough变换，1981年被DannaH.Ballard扩展后应用到计算机视觉领域。3.5.1基本原理从图像中提取特征时，最简单也最有用的莫过于形状的检测了，比如：直线检测、圆检测、椭圆监测以及其它类似形状的检测。为了达到这样的目的，必须能够检测到这样一组像素点，使它们位于拟定形状的边沿上，这就是Hough变换要解决的问题。第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期日最简单得Hough变换就是线性变换。，假设在某个图像上存在一条直线，其表达式为y=kx+b。显然，最能表示这条直线特征的就是其斜率k和截距b，因此，这条直线在参数空间内可表示为(k,b)。xYP2(x2,y2)P1(x1,y1)L0:y=kx+bL1:b=-x1k+y1L2:b=-x2k+y2kbP0(k0,b0)第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.5.5Hough变换的扩展应用对Hough变换稍作改动，则可以检测任何形状：用Hough变换检测圆:圆的方程(x-x0)2+(y+y0)2=R02根据直线对偶变换思想，可以用三个参数(x0,y0,R0)来表示一个圆，其他过程完全一样，唯一不一样的地方就是这个对偶变换是三维的。第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期日3.4小波变换对实函数g(t)来说，如果它的傅立叶变换G(w)满足容许性条件（admissibilitycriterion）。那么就称g(t)为“基小波”（basicwavelet）。根据G(w)的有限性，可知G(0)=0，即有这就是称g(t)为小波的原因，小波是具有振荡性和迅速衰减的波。第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期日对基小波进行平移和放缩可得到一组小波基函数{gs,p(t)}，也称积分核。s——尺度参数，正实数，只是小波基函数的宽度；p——定位参数，实数，指示沿t轴的平移距离。函数f(t)相对小波g(t)的连续小波变换可定义为：反变换为：第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期日傅立叶变换和小波变换的区别傅立叶变换具有频率局部化的特点，但没有时间/空间局部化的能力。小波变换具有时间—频率都局部化的特点。在小波变换中，时间窗函数的宽度与频率窗函数的宽度都是s的函数，其乘积根据“测不服原理”是一个常数。在对低频分析时可加宽时间窗，减小频率窗；而对高频分析时可加宽频率窗，减小时间窗。对应较高频率的窗比较窄(时间范围小)但比较高(频率范围大)；而对应较低频率的窗比较宽(时间范围大)但比较低(频率范围小)。小波变换的这种特性也称为“变焦”(zoomZng)特性，它是小波变换能够提供多分辨率分析的基础。第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期日第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期日第三十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期日任务检索文献：关键词：傅立叶变换DFT、离散余弦变换(DCT)、Hough变换、小波变换(Wavelettransform)第三十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期日小结

傅立叶变换（FFT）具有快速算法，数字图象处理中最常用