简单事件的概率及其应用

1．事件的分类(1)确定事件在一定条件下，有些事件发生与否可以事先确定，这样的事件叫做

．①必然事件：确定事件中必然发生的事件叫做

，它发生的概率为1.②不可能事件：确定事件中不可能发生的事件叫做

，它发生的概率为0.(学P126)第31讲简单事件的概率及其应用第六章统计与概率第三篇统计与概率必然事件确定事件不可能事件(2)随机事件：在一定条件下，可能发生

的事件，称为随机事件，它发生的概率介于0与1之间．2．概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．3．概率的计算(1)列举法求概率：如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为

．也可能不发生(2)用树状图(表)求概率：当一次实验涉及3个或更多因素(例如从3个口袋中取球)时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据

计算概率．(3)利用频率估计概率：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的概率

稳定于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P(A)＝p(0≤P(A)≤1)．4．概率的应用(1)用概率分析事件发生的可能性概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用，如福利彩票、体育彩票、有奖促销等．事件发生的可能性越大，概率就越

．大(2)用概率设计游戏方案在设计游戏规则时应注意设计的方案要使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等．列表法与树状图法列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的；当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要涉及三个或更多个因素时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．1．(2014·孝感)下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是

.(填序号)①③2．(2013·湖州)一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球，从布袋里任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为()

A.B.C.D.D3．(2013·茂名)如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是

.4．(2013·兰州)某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是

.第3题图第5题图5．(2013·金华、丽水)合作小组的4位同学在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则B坐在2号座位的概率是

.(学P127)【问题】小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1，2，3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果．(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜；两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜．这个游戏公平吗？为什么？(3)通过(1)、(2)解答，①你认为求概率有哪几种方法，应注意哪些问题？②利用概率设计游戏方案应注意哪些问题？【解析】(1)列表如下：1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)或画树状图如下：(2)可能出现的数字之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6共9个，它们出现的可能性相同．其中奇数共4个，偶数共5个．∴P(小昆获胜)＝

，P(小明获胜)＝

.∵

≠

，∴游戏不公平．(3)①列举法求概率；用树状图(表)求概率；利用频率估计概率．注意列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果；利用频率估计概率应在大量重复实验中去估计．②游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．【归纳】复习利用列举法求概率；用树状图(表)求概率；用频率估计概率；用树状图或列表的方法来求事件的概率时：①要认真弄清题意，分清是“一步实验”还是“两步或两步以上实验”；②要在所有等可能的结果中，仔细筛选出适合题意的结果个数，代入“P(A)＝中求出概率，谨防出错．类型一判断事件的类型例1(2013·泰州)事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C)，则P(A)、P(B)、P(C)的大小关系正确的是(

)A．P(C)＜P(A)＝P(B)

B．P(C)＜P(A)＜P(B)C．P(C)＜P(B)＜P(A)

D．P(A)＜P(B)＜P(C)【思路分析】判断事件是确定事件还是不确定事件，从而求出概率即可．【答案】事件A：打开电视，它正在播广告，是不确定性事件，其概率0<P(A)<1；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7，是必然事件，其概率P(B)＝1；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件，其概率P(C)＝0.于是有P(C)<P(A)<P(B)．故选B.【解后感悟】判断简单基本事件的概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，不确定事件的概率值在0与1之间．1．(2014·台州)某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是()A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格D．即使购买1个该品牌的电插座，也可能不合格D类型二计算简单事件的概率例2(2013·台州)在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．【思路分析】根据题意，画出树形图如下：∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种，【解后感悟】当一次试验涉及多个因素(对象)时，常用“列表法”或“树状图法”求出事件发生的等可能性，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．简单事件的概率的求法一般有列表法、画树状图法和列举法；通过画树状图或列表的方法可以将复杂的问题化繁为简，化难为易，这种方法能把所有可能的结果一一列举出来，从而能较简便地求出事件发生的概率．∴两次摸出的小球标号之和为5的概率是

.【答案】

.2．(2013·岳阳)如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为

.3．(2014·杭州)一个布袋中装有只有颜色不同的a(a＞12)个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图(未绘制完整)，请补全该统计图并求出的值．【答案】∵黑球有4个，由条形统计图可知，摸出黑球的概率是0.2，∴布袋中球的总数为a＝4÷0.2＝20.∵布袋中有2个白球，4个黑球，6个红球，∴摸出白球、红球的概率分别为2÷20＝0.1，6÷20＝0.3.∴补全该统计图如下：又∵黄球的个数为a＝20－2－4－6＝8.∴＝

＝0.4.(学P128页)类型三用频率估计概率例3(2013·连云港)在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……，如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球．其中说法正确的是(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③【思路分析】根据大量重复实验时，事件发生的概率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可．∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1－20%－50%＝30%，故此选项正确．∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其他频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确．【解后感悟】利用频率估计概率，一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的概率m/n稳定于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P(A)＝p

(0≤P(A)≤1)．③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误．故正确的是①②.故选B.【答案】B4．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．实验要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．统计结果如表：摸球的次数n1002003005008001000摸到有记号球的次数m254457105160199摸到有记号球的频率0.250.220.190.210.200.20请你估计盒中共有球

个．40类型四构建概率模型，判断游戏公平例4(2013·湛江)把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张．(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率．(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．【思路分析】(1)根据题意画出树状图或列表，然后根据图或表即可求得所有等可能的结果．(2)判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【答案】(1)把6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下：∵从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共9种情况，其中数字之和为奇数只有4种，∴取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为：P(和为奇数)＝

.(2)∵由(1)的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5种情况，∴取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：P(和为偶数)＝

.又∵甲胜的概率是P(和为奇数)＝

，∴两者概率不相等，故这个游戏不公平．【解后感悟】判断游戏公平问题，实际上是求每个事件的概率，若概率相等，则游戏公平，反之就不公平．5．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．【答案】(1)∵P(小明胜)＝

，P(妹妹胜)＝

，∴P(小明胜)≠P(妹妹胜)．∴这个办法不公平．(2)当x＞3时对小明有利，当x＜3时对妹妹有利，当x＝3时是公平的．类型五概率的综合运用例5(2013·株洲)已知a、b可以取－2、－1、1、2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是________．【思路分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，列表或画树状图得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax＋b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率：列表如下：

－2－112－2

(－1，－2)(1，－2)(2，－2)－1(－2，－1)

(1，－1)(2，－1)1(－2，1)(－1，1)

(2，1)2(－2，2)(－1，2)(1，2)∵所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax＋b不经过第四象限情况数有2种，∴直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是P＝

＝

.【答案】

【解后感悟】概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形，再求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率．6．(2014·宁波)如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是()DA.B.

C.D.(学P129页)7．(2013·十堰)某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)九(1)班的学生人数为

，并把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中m＝

，n＝

，表示“足球”的扇形的圆心角是

度；40102072(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．【答案】(1)补全统计图如图所示．(3)根据题意画出树状图如下：∵一共有12种情况，恰好是1男1女的情况6种．∴P(恰好是1男1女)＝

＝

.【实际应用题】【试题】(2013·温州)一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【分析与解】(1)根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出黄球的概率．∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸到黄球的概率为：.(2)假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．由题意，得≥，解得：x≥，答：至少取走了9个黑球．【方法与对策】此题主要是概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝

；该题亮点在于概率应用于不等量关系之中，即概率与一元一次不等式结合，概率还可以和方程、几何的结合．这类题型是中考命题的方向．不画