绝对值不等式的解法

3.5.2绝对值不等式的解法内容要求

1.掌握最简单的绝对值不等式|x|＜a和|x|＞a的解法和几何意义.2.掌握|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法.3.掌握|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法.4.理解绝对值不等式在解决简单的最大(小)值问题中的应用.1.绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集自

主

预

习不等式a>0a＝0a<0|x|<a

___________________________∅∅|x|>a_______________________________{x∈R|x≠0}R{x|－a<x<a}{x|x>a或x<－a}2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔___________________.(2)|ax＋b|≥c⇔______________________________.3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c即

时

自

测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有当a＞0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a.(

)(2)|x－a|的几何意义是：数轴上坐标为x的点到坐标为a的点之间的距离.(

)(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R.(

)(4)0＜|x|＜2的解集为(－2，2).(

)答案

(1)√

(2)√

(3)√

(4)×答案

B3.不等式|x－2|>x－2的解集是(

)A.(－∞，2) B.(－∞，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)解析

原不等式同解于x－2<0，即x<2.答案

A4.|2x＋1|>|5－x|的解集是________.题型一|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法【例1】

求解下列三个不等式.(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|<4；(3)|5x－x2|<6.【训练1】

解不等式.(1)3<|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.题型二含两个绝对值的不等式的解法【例2】(1)解不等式|x＋2|>|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.(3)几何解法的关键是正确理解绝对值的几何意义.【训练2】

已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.由－2x＋12＝2，得x＝5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5).题型三含参数的绝对值不等式的综合问题

互动探究【例3】

已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.[思路探究]探究点一已知不等式解集求参数值问题与求不等式解集问题有怎样的联系？提示问题形式上相反，但本质一样，故解法也一样.探究点二

f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，求m的范围，应该如何转化？提示转化为求y＝f(x)＋f(x＋5)的最小值.规律方法

1.第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件).2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向.解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.【训练3】

若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|，且关于x的不等式f(x)≤|2a－1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围.[课堂小结]绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x