2021-2022学年河南省焦作市孟州第四中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年河南省焦作市孟州第四中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数（，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：D构造函数，∵，∴，∴为奇函数，当时，，∴在上单调递减，∴在上单调递减．∵存在，∴，∴，化简得，∴，即，令，∵为函数的一个零点，∴在时有一个零点，∵当时，，∴函数在时单调递减，由选项知，，又∵，∴要使在时有一个零点，只需使，解得，∴的取值范围为，故选D．2.已知（

）

参考答案：A3.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．4.已知

，那么

(

）A．

B。

C。

D。参考答案：C

5.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]

B．[1，＋∞)C．[－1，1]

D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)参考答案：C6.已知函数的图象的相邻两对称中心的距离为，且，则函数是(A)偶函数且在x=0处取得最大值

(B)偶函数且在x=0处取得最小值(C)奇函数且在x=0处取得最大值

(D)奇函数且在x=0处取得最小值参考答案：A7.已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：A略8.在中，已知，则角A为（

）A.锐角

B.直角

C.钝角

D.锐角或钝角参考答案：C略9.函数的图像大致是 (

) 参考答案：D略10.是“实系数一元二次方程有虚根”的（

）A.必要不充分条件

B.充分不必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O--EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.参考答案：118.8，..

12.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，，且，则△ABC周长的最小值为_____。参考答案：【分析】化简，求得角的大小，用三角形的面积公式列式，然后利用基本不等式求得周长的最小值.【详解】由得，故.由三角形面积公式得.所以三角形的周长，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.13.如图是某多面体的三视图，则该几何体的外接球体积为．参考答案：4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用补形法得到几何体是由棱长为2的正方体切割得到，然后计算外接球的体积．【解答】解：由三视图得到几何体由棱长位的正方体截去两个侧棱长为2的正三棱锥P﹣ABC和E﹣BCD得到，如图所以几何体的外接球与正方体的外接球是同一个球，所以体积为；故答案为：4．【点评】本题考查了几何体的三视图；关键是利用补形法得到几何体的直观图．14.已知e为自然对数的底数，函数f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=

．参考答案：2【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）﹣1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（﹣e）=2，f′（e）﹣f′（﹣e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【解答】解：f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1，令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x+ln（+x），则g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=，g（x）+g（﹣x）=0，故g（x）为奇函数，g′（x）=f′（x）==，由g′（x）﹣g′（﹣x）=﹣，可知g′（x）=f′（x）为偶函数，g（e）+g（﹣e）=f（e）﹣1+f（﹣e）﹣1=0，∴f（e）+f（﹣e）=2．又f′（e）=f′（﹣e），∴f′（e）﹣f′（﹣e）=0，∴f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．故答案为：2．15.设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，

则实数b的值为

．参考答案：；16.程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为．参考答案：1025【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，n=10，i=0，执行循环体，s=2，i=1满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025，故答案为：1025．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．17.已知数列{an}的前n项和为Sn，，______.指出S1、S2、…Sn中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.参考答案：①②均能得到最大.【分析】根据可得，从而可判断为等差数列，若选①，则可得，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到的最大项.若选②，则可求出，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到的最大项.【详解】因为，故，故.当时，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故，也即是故，所以为等差数列.若选①，因为，，故，故，，故最大.若选②，则，故，解得，故，故，故最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列的通项与前项和的关系以及等差数列前和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定何时取最值，本题属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．参考答案：证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．

……………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以．又因为，，所以平面，而平面，所以平面平面．……………………8分（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.在棱上显然存在点,使得.由已知，，，，．由平面几何知识可得．由（Ⅱ）知，平面，所以，因为，所以平面．而平面，所以．又因为,所以平面.在中，，可求得，．可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分

略19.(本题满分12分）已知函数，其中常数满足.（1）若ab>0，用函数单调性定义判断函数的单调性；（2）若ab<0，求时的取值范围。参考答案：解：⑴当时，任意，则……2分∵，，……4分∴，函数在上是增函数。………5分当时，同理，函数在上是减函数。……6分⑵

………8分当时，，则；………10分当时，，则。………12分

20.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在－3,6上的最大值与最小值．参考答案：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋x2－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0.∴f(x)为减函数．(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－f(－3)＋f(－3)＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在－3,6上的最大值为2，最小值为－4.21.（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.表1：生产能力分组人数4853表2：生产能力分组人数

6

y

36

18

（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

参考答案：解析：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为

.

（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.

故

，得，，得

.

频率分布直方图如下

从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小.

（ii），

，

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1.

22.已知曲线C的极