河北省唐山市英才国际中学高三数学理期末试卷含解析

河北省唐山市英才国际中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（

）A.39人 B.49人 C.59人 D.超过59人参考答案：A【分析】根据随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，得到每十个个体被抽到的机会也是均等的，结合题中数据，即可估计出结果.【详解】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，，，，….，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，，，四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右；故选A【点睛】本题主要考查简单随机抽样，熟记随机抽样的特征即可，属于基础题型.2.双曲线的焦距为（）Ａ．４

Ｂ．

Ｃ．８

Ｄ．与无关参考答案：C3.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8

（B）4

（C）2

（D）1

参考答案：C略4.若函数（且）在[2,3]上单调递增，则实数m的取值范围为（

）A．(1,36]

B．[36,+∞)C．(1,16]∪[36,+∞)

D．(1,16]参考答案：D由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.

5.若cosα=，α∈（0，π），则cos（﹣α）=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：∵cosα=，α∈（0，π），则cos（﹣α）=sinα==，故选：B．6.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为(

) A．12+π B．6+π C．12+2π D．6+4π参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据俯视图是中心角为60°的扇形，知几何体是圆柱体，由正视图知母线长为3，底面半径为2，求出底面弧长，代入侧面积公式计算．解答： 解：由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=（+2×2）×3=12+2π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，关键是判断三视图的数据所对应的几何量．7.下面式子中，①=3﹣π；②无理数e是自然对数的底数，可以得logπ1+lne=1；③若a＞b，则a2＞b2；④若a＞b，则（）a＜（）b正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】①根据根式的性质进行化简即可；②根据对数的运算性质进行化简即可；③举反例即可判断命题真假；④考查指数函数y=的单调性即可．【解答】解：对于①，∵3＜π，∴=|3﹣π|=π﹣3，命题错误；对于②，∵无理数e是自然对数的底数，∴logπ1+lne=0+1=1，命题正确；对于③，∵0＞a＞b时，a2＜b2，∴命题错误；对于④，y=是R上的减函数，∴a＞b时，（）a＜（）b，命题正确．综上，以上正确的命题有②④两个．故选：B．8.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为（）A．44 B．22 C． D．88参考答案：A【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由于S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8，结合等差数列的性质a4+a8=a5+a7=2a6可求a6，由等差数列的求和公式S11==11a6，运算求得结果．【解答】解：∵S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8=20，由等差数列的性质可得，5a6=20，∴a6=4．由等差数列的求和公式可得S11==11a6=44，故选：A．9.已知是定义在R上的奇函数，且时的图像如图所示，则

A.-3

B.-2

C.-1

D.2参考答案：【知识点】奇函数的性质.B4【答案解析】D解析：解：根据奇函数的性质可知，所以正确选项为D.【思路点拨】根据奇函数的定义可直接求出结果.10.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（

）A．1

B．i

C．－1

D．－i参考答案：A，所以的虚部是1，选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是

.参考答案：相交12.设i为虚数单位，则复数所对应的点位于第象限．参考答案：一【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数===1+i所对应的点（1，1）位于第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.已知正方形边长为1，是线段的中点，则____.参考答案：【考点】平面向量。解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，），所以，＝（1，－）（1,1）＝，答案：14.曲线﹣y2=1（n＞1）的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1+PF2=2，则△PF1F2的面积为

．参考答案：1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式，然后分别求解，最后得出|PF1||PF2|=2，解出结果．【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|﹣|PF2|=2①|PF1|+|PF2|=2②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=﹣，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，则△PF1F2的面积为S=|PF1||PF2|==1，故答案为：115.函数的定义域,它的零点组成的集合是,的定义域,它的零点组成的集合是，则函数零点组成的集合是

（答案用、、的集合运算来表示）参考答案：16.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．17.设和都是元素为向量的集合，则M∩N=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知为坐标原点，点，对于有向量，（1）试问点是否在同一条直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由;（2）是否在存在使在圆上或其内部,若存在求出,若不存在说明理由.参考答案：解:(1)点在同一条直线上,直线方程为.

2分证明如下:设点,则即所以.所以,点在直线上.

5分

(2)由圆的圆心到直线的距离为,可知直线与圆相切,所以直线与圆及内部最多只有一个公共点

10分而切点的坐标为:,此时不满足题意,所以不存在满足题意.

12分19.如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且，．将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置如图2，且，得到四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：AP⊥平面ABCE；（2）记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在△CDE中，由已知结合余弦定理得CE．连接AC，可得AC=2．在△PAE中，由PA2+AE2=PE2，得AP⊥AE．同理，AP⊥AC，然后利用线面垂直的判定可得AP⊥平面ABCE；（2）由AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，可得AB∥平面PCE，又平面PAB∩平面PCE=l，结合面面平行的性质可得AB∥l．【解答】证明：（1）在△CDE中，∵，，∴由余弦定理得CE==2．连接AC，∵AE=2，∠AEC=60°，∴AC=2．又∵，∴在△PAE中，PA2+AE2=PE2，即AP⊥AE．同理，AP⊥AC，∵AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，且AC∩AE=A，故AP⊥平面ABCE；（2）∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，∴AB∥平面PCE，又平面PAB∩平面PCE=l，∴AB∥l．20.（本小题满分13分）

已知函数，，（1）当时，求函数在区间上的单调性；（2）若且，当时，证明．参考答案：(1)则……………..2分且，

当＜＜时，，所以函数在区间上单调递增

……4分当＜＜时，，所以函数在区间上单调递减

……6分(2)要证明，只须证明当时，

……………7分等价于

…………………9分记，则

……………10分

………………11分当，即时，，在区间上单调递减，所以，当，恒成立.

…………………13分21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD.（I）证明：PA⊥BD；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案：解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD……7分（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则即

因此可取n=设平面PBC的法向量为m，