福建省泉州市后西中学2021年高三数学理联考试卷含解析

福建省泉州市后西中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.复数,则对应的点所在的象限为(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4D

解析：∵复数z=1﹣i，∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．【思路点拨】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．3.已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于A.2 B. C. D.参考答案：A略4.已知实数，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的不小于47的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A

略5.定义在（﹣∞，0）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），且有xf'（x）﹣2f（x）＞x2，若f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2016，0） B．（﹣∞，﹣2017） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，﹣2015）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】对不等式xf′（x）﹣2f（x）＞x2两边同除以﹣x3便可据条件得出，从而判断出函数F（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，这样可由不等式f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0得出F（m+2015）＞F（﹣1），这样根据F（x）的定义域及单调性即可求出m的取值范围．【解答】解：由xf′（x）﹣2f（x）＞x2（x＜0）得，；∴；设F（x）=，则F（x）在（﹣∞，0）上单调递增；由f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0得，；即；∴F（m+2015）＞F（﹣1）；∴﹣1＜m+2015＜0；∴﹣2016＜m＜﹣2015；∴m的取值范围是（﹣2016，﹣2015）．故选D．6.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C． D．1参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c．∴△ABC是等边三角形．那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知F1、F2为双曲线：（，）的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：C8.某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）

A．130

B．140

C．134

D．137高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

参考答案：C略9.若定义在R上的函数满足则对于任意的，都有A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略10.圆心在直线上的圆的方程是A.

B.C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数的最小值为3，则实数b的值为

。参考答案：12.函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．参考答案：[3e3，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=ex﹣=，则xex﹣a=0无实数解，由y=xex，可得y′=（1+x）ex＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．13.已知集合，则

．参考答案：{1,2,3}14.如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为2，110011，6，则输出的b＝

．参考答案：51依程序框图得．15.某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，恰有1门课程没有同学选修，共有

种不同选课方案（用数字作答）．参考答案：18【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；排列组合．【分析】第一步：从3个社团中选2个，第二步：把3名同学分为（2，1）组，把这两组同学分配到两个社团中，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步：从3个社团中选2个，共有C32=3种，第二步：把3名同学分为（2，1），把这两组同学分配到两个社团中有A32=6，根据分步计数原理可得，共有3×6=18种，故答案为：18．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，以及分组分配，属于中档题．16.若，则

.参考答案：，又，，解得，于是，，故答案为.

17.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是

.参考答案：抛物线的焦点坐标为。圆的标准方程为，所以圆心坐标为，所以由得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分18分）（文）设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.参考答案：（文）解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3，

……………2分∴

……………4分∵，

∴Sn==.

……………6分

（2）

∴ ……………8分

∴

……………10分

（3）由(2)知，

∴，，∵成等比数列.∴

……………12分即

当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；……………15分

当时，，则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列.……………17分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.……………18分[来

另解：

（3）由(2)知，

∴，

∵成等比数列.∴，

……………12分

取倒数再化简得

当时，，=16，符合题意；

……………14分

，

而，

所以，此时不存在正整数m、n,且1<m<n,使得成等比数列.……………17分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.……………18分略19.（12分）（2015?庆阳模拟）已知函数f（x）=alnx+1，g（x）=x2+﹣1，（a，b∈R）．（1）若曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求b的值；（2）当a＞0时，若对?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设p（x）=f（x）+g（x），在（1）的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有＞p（）．参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（1）由曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g'（1）=2，可得b的方程，解出即可；（2）令h（x）=f（x）﹣x=alnx+1﹣x，则对?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，有h（x）min＞0，求导数h'（x）=，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；（3）易得p（x）=x2++alnx，表示出=++aln，p（）=++aln，分别利用不等式可证明＞①，＞，②aln≥aln，③由三式可得结论；解：（1）∵g'（x）=2x﹣，由曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g'（1）=2﹣b=0，解得b=2；（2）令h（x）=f（x）﹣x=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a≥e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞x；当1＜a＜e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1，∴e﹣1≤a＜e．当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），要使f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意；综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．（3）由p（x）=x2++alnx，得=+（）+=++aln，p（）=++aln，由得2＞?＞①，又+2x1x2＞4x1x2，∴＞，②∵，∴ln＜ln，∵a≤0，∴aln≥aln，③由①、②、③得++aln＞++aln，即＞p（）．【点评】：本题考查导数的几何意义、函数恒成立、不等式的证明等知识，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的2×2列联表如下：

对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评10030130对车辆状况不满意403070合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中.参考答案：（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为.的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.∵，，