河南省开封市彪岗中学高三数学理测试题含解析

河南省开封市彪岗中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.若抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：B2.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。由得，且，即实数的取值范围是，选B.3.已知数列{an}满足a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），则a2=（）A．1 B．3 C．5 D．7参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），可得an+1=2（an﹣1+1），即{an+1}为首项是2，公比为2的等比数列，从而可求得a2【解答】解：∵an=2an﹣1+1（n≥2），∴an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），∴=2，又a1=1，∴a1+1=2，∴{an+1}为首项是2，公比为2的等比数列，∴an+1=2?2n﹣1=2n，∴an=2n﹣1．∴a2=3．故选B．4..“”是“直线与直线垂直”的（

）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若直线与直线相互垂直，则，即，解得或，则“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出的值是解决本题的关键，属于中档题.5.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（） A．

B.

C.

D.参考答案：B6.已知函数，则

参考答案：D7.将函数的图像向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）所得的图像解析式为，则图像上离y轴距离最近的对称中心为A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（，0） 参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D

将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin[ω（x+）+φ]的图象；

再将图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；

∴函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同

∴ω=1，ω+φ=0解得：ω=2，φ=-∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x-）由2x-=kπ得x=kπ+（k∈Z）

当k=-1时，x=-∴离y轴距离最近的对称中心为（-，0）．故选D．【思路点拨】函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin[ω（x+）+φ]的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；由解析式相同求出ω、φ的值，然后根据正弦函数的对称中心求出函数y=sin（ωx+φ）的对称中心，进而求出离y轴距离最近的对称中心8.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．参考答案：D9.函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的

数使得则的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D略10.若集合则（）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________.参考答案：略12.已知是各项都为正数的等比数列，则前项和为，且，则

．参考答案：413.已知下列命题：1

函数的单调增区间是.2

要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度.3

已知函数，当时，函数的最小值为．4

在[0,1]上至少出现了100次最小值，则.其中正确命题的序号是_

参考答案：②③④14.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为

．参考答案：515.对于函数与函数有下列命题：①函数的图像关于对称；②函数有且只有一个零点；③函数和函数图像上存在平行的切线；④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为

其中正确的命题是

。（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：②③④画出函数的图像可知①错；函数的导函数，所以函数在定义域内为增函数，画图知②正确；因为，又因为，所以函数和函数图像上存在平行的切线，③正确；同时要使函数在点处的切线平行于函数在点处的切线只有，这时，所以，④也正确．16.函数的定义域为

▲

．参考答案：[2，+∞）分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数f(x)有意义，则，解得，即函数f(x)的定义域为[2，+∞).

17.关于函数有下列命题：（1）函数的图象关于轴对称；（2）在区间上，是减函数；（3）函数的最小值是2；（4）在区间上，是增函数.其中正确的命题是

参考答案：(1)（3）(4)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．参考答案：（1）∵，令，解得或，又由于函数的定义域为，∴的单调递增区间为和．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，因此，当时，恒有，即．19.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，、相交于点，为上一点，且·。（1）求证：；（2）求证：·=·。参考答案：证明：（1）∵，∴。∵是公共角，∴相似于，，。……5分。(2)，相似，即··。弦相交于点，··∴··。……10分20.已知是等差数列，公差为，首项，前项和为.令,的前项和.数列满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为所以则……………3分则

解得所以

………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知

由

…………11分因为随着的增大而增大，所以时，最小值为所以…………………14分略21.某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元现已知该公司9月份日销量(万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量服从正态分布,则.参考答案：(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时,(万台).（注:若，当时,(万台).(2)由题知月份日销量(万台)服从正态分布,则,,日销量的概率为,日销量的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.22.（本题满分14分）如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)依题意,所以是正三角形,又所以,…………2分因为平面,平面,所以…………3分因为,所以平面…………4分因为平面,所以平面平面…………5分(Ⅱ)取的中点,连接、

,连接,则所以是异面直线与所成的角…………7分因为,,所以,,所以…………9分(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系

设(),则(Ⅰ)设平面的一个法向量为,则