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文档简介
2021年广西壮族自治区钦州市新棠镇中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(w>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(0)+f()的值为()A.2﹣ B.2+ C.1﹣ D.1+参考答案:A【考点】正弦函数的图象.【分析】根据函数f(x)的部分图象,求出周期T与ω的值,再计算φ的值,写出f(x)的解析式,从而求出f(0)+f()的值.【解答】解:根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(w>0,|φ|<)的部分图象,得T=﹣(﹣)=,又T==π,∴ω=2;当x=﹣时,函数f(x)取得最小值﹣2,∴2×(﹣)+φ=﹣+2kπ,k∈Z,解得φ=﹣+2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=﹣,∴f(x)=2sin(2x﹣);∴f(0)+f()=2sin(﹣)+2sin(2×﹣)=2×(﹣)+2sin=2﹣.故选:A.2.已知向量满足:且则向量与的夹角是(
)
参考答案:D略3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,过抛物线上一点作准线作垂线,垂足为,若为等边三角形,则抛物线的标准方程是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D考点:抛物线.4.若实数a,b,c,d满足,则的最小值为
A.8
B.
C.2
D.参考答案:A5.函数的图像只可能是
参考答案:A6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则(
)A.2
B.
C.4
D.1参考答案:A根据,可以求得与的倍数关系,根据等比数列的性质,求得,从而求得的值.,即,所以,故选A.
7.设函数R)满足,则的值是(
)A.3
B.2
C.1
D.0参考答案:D8.已知,则(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B略9.知双曲线,A1、A2是实轴顶点,F是右焦点,是虚轴端点,若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点,使得构成以A1A2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B10.函数的一个零点落在下列哪个区间(
)
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,满足约束条件,则的取值范围是
.参考答案:[0,1]
12.已知函数在处有极值.则函数的单调减区间为
参考答案:13.若存在正数使成立,则的取值范围是(
)A.(-∞,+∞)
B.
(-2,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-1,+∞)参考答案:D略14.若函数f(x)=x﹣sin2x+asinx为R上的增函数,则实数a的取值范围是.参考答案:[﹣,]【分析】令cosx=t,通过讨论t=0的情况,再讨论t∈(0,1]的情况,分离参数,构造函数,利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围.【解答】解:f′(x)=1﹣cos2x+acosx,若f(x)在R递增,则f′(x)≥0在R恒成立,即acosx≥cos2x﹣1=cos2x﹣在R恒成立,令cosx=t,则t∈[﹣1,1],则at≥t2﹣在t∈[﹣1,1]恒成立,t=0时,显然成立,t∈(0,1]时,a≥t﹣,令h(x)=t﹣,显然h(t)在(0,1]递增,a≥h(x)max=h(1)=﹣,t∈[﹣1,0)时,a≤t﹣,故a≤h(x)min=h(﹣1)=,综上,a∈[﹣,],故答案为:[﹣,].【点评】本题考查不等式恒成立问题,解题的关键是分离参数,构造函数,利用函数的单调性求解15.已知则
_______.参考答案:16.函数的定义域为
.参考答案:试题分析:由题意可知,解得.考点:函数的定义域.17.从集合{1,2,3,…,10}中选出4个数组成的子集,使得这4个数中的任何两个数的和不等于11,则这样的子集个数是.参考答案:80【考点】子集与真子集.【分析】为了满足和不等于11,先将和等于11放在一组,后在每一组中各抽取一个,利用乘法原理即可求得.【解答】解:将和等于11放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,共有????=5×2×2×2×2=80,故答案为:80.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知二次函数f(x)=x2+ax+b+1,关于x的不等式f(x)﹣(2b﹣1)x+b2<1的解集为(b,b+1),其中b≠0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)令g(x)=,若函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点,求实数k的取值范围,并求出极值点.参考答案:【考点】3W:二次函数的性质.【分析】(I)令f(b)﹣(2b﹣1)b+b2=1即可解出a;(II)求出φ′(x),令φ′(x)=0,讨论b的符号得出两根与区间(0,1)的关系,从而得出φ(x)的单调性,得出极值的情形.【解答】解:(I)∵f(x)﹣(2b﹣1)x+b2<1的解集为(b,b+1),即x2+(a﹣2b+1)x+b2+b<0的解集为(b,b+1),∴方程x2+(a﹣2b+1)x+b2+b=0的解为x1=b,x2=b+1,∴b+(b+1)=﹣(a﹣2b+1),解得a=﹣2.(II)φ(x)得定义域为(1,+∞).由(I)知f(x)=x2﹣2x+b+1,∴g(x)==x﹣1+,∴φ′(x)=1﹣﹣=,∵函数φ(x)存在极值点,∴φ′(x)=0有解,∴方程x2﹣(2+k)x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根,且在(1,+∞)上至少有一根,∴△=(2+k)2﹣4(k﹣b+1)=k2+4b>0.解方程x2﹣(2+k)x+k﹣b+1=0得x1=,x2=(1)当b>0时,x1<1,x2>1,∴当x∈(1,)时,φ′(x)<0,当x∈(,+∞)时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,∴φ(x)极小值点为.(2)当b<0时,由△=k2+4b>0得k<﹣2,或k>2,若k<﹣2,则x1<1,x2<1,∴当x>1时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,不符合题意;若k>2,则x>1,x2>1,∴φ(x)在(1,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)单调递增,∴φ(x)的极大值点为,极小值点为.综上,当b>0时,k取任意实数,函数φ(x)极小值点为;当b<0时,k>2,函数φ(x)极小值点为,极大值点为.19.(1)用数学归纳法证明:当时,(,且,);(2)求的值.参考答案:(1)①当时,等式右边等式左边,等式成立.②假设当时等式成立,即.那么,当时,有这就是说,当时等式也成立.根据①和②可知,对任何等式都成立.(2)由(2)可知,,同时求导,得,所以,所以.20.设不等式的解集为.(1)求集合;(2)设关于的不等式的解集为,若,求实数的取值范围.参考答案:略21.设数列的前项和为,且满足,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,数列的前项和为,证明:.参考答案:(1)当时,当时,
两式相减得:,整理得=() 是以1为首项,为公比的等比数列∴=()(2)
①
②①-②得:
∴T=8--=8-∵在时恒成立即,单调递增
的最小值为22.(本小题满分12分)
已知:以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点,其中为原点。(1)求证:的面积为定值;(2)设直线与圆交于点,若,求圆的方程。参考答案:【知识点】圆的方程和性质;直线和圆的位置关系
H3
H4【答案解析】(1)证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=.∴直线OC的方程是y=x.∴=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当
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