2021年北京昌平区第三中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年北京昌平区第三中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①∥

②⊥∥

③∥⊥

④⊥∥其中正确命题的序号是（

）A．①②③

B.②③④

C.①③

D.②④参考答案：C2.设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2≤a+2，即a2﹣a﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．3.规定表示不超过的最大整数，例如：[3.1]=3，[2.6]=3，[2]=2；若是函数导函数，设，则函数的值域是（

）A． B． C． D.参考答案：D4.已知Sn是等差数列{an}()的前n项和，且,以下有四个命题：①数列{an}中的最大项为

②数列{an}的公差③

④其中正确的序号是（

）A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④参考答案：B∵，∴，∴∴数列中的最大项为，，∴正确的序号是②③④故选B5.已知满足：，，则BC的长（

）A.2

B.1

C.1或2

D.无解参考答案：C略6.若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶聚合”点集．现有四个命题： ①若M={（x，y）|y=2x}，则存在正数t，使得M是“t阶聚合”点集； ②若M={（x，y）|y=x2}，则M是“阶聚合”点集； ③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶聚合”点集； ④若M={（x，y）|x2+y2≤1}是“t阶聚合”点集，则t的取值范围是（0，1]． 其中正确命题的序号为（） A．①② B．②③ C．①④ D．③④参考答案：C【考点】集合的表示法． 【专题】计算题；转化思想；定义法；集合． 【分析】首先，对于①，直接判断即可，对于②：取（2，4），代人验证即可，对于③：取（1，﹣1）验证即可，对于④：则直接根据“t阶聚合”点集进行求解． 【解答】解：对于①：M={（x，y）|y=2x}， ∴（tx，ty）∈M， ∴①正确； 对于②：∵M={（x，y）|y=x2}， ∴取（2，4）， 而点（1，2）?M， ∴②错误； 对于③：取（1，﹣1）为集合M上的一点， 则（2，﹣2）?M， ∴③错误； 对于④：∵x2+2y2≤1，根据题意，得 ∴t2（x2+2y2）≤1， ∵t∈（0，+∞）， ∴t∈（0，1]． ∴④正确； 故选：C 【点评】本题重点考查了集合的元素特征，属于信息给予题，难度中等．准确理解给定的信息是解题的关键 7.已知数列满足，，则A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知实数x,y满足约束条件则的最小值为A.27

B.

C.3

D.

参考答案：B略9.（文）执行如图3所示的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为()A.2

B.3C.4

D.5参考答案：B10.双曲线的离心率是2，则的最小值为

A．

B．

C．2

D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为

.参考答案：略12.在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为

．参考答案：4【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=?，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，∴（S△PAC）max==4．故答案为：4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．13.设R，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，则的取值范围是___________．参考答案：略14.函数的单调递增区间为

．参考答案：略15..已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为

．参考答案：9作可行域，则直线过点A(2,2)时取最小值，此时最优解为(2,2)，即当且仅当时取等号，即的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.若以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为

．参考答案：=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为，a＞0，把（2，1）代入，能求出该双曲线的标准方程．【解答】解：∵以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线过点（2，1），∴设双曲线方程为，a＞0，把（2，1）代入，得：，a＞0，解得a2=2，或a2=6（舍），∴该双曲线的标准方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．17.已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为

．参考答案：210考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：依题意得，由二项式系数和2n=1024，求得n的值，再求展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答： 解：依题意得，由二项式系数和2n=1024，解得n=10；由于展开式的第k+1项为，令20﹣3r=2，解得r=6，∴展开式中含x2项的系数为=210．故答案为：210．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答： 解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，=﹣3．（1）求△ABC的面积；（2）求AC边的最小值．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由（2a﹣c）cosB=bcosC，求出B，利用=﹣3，求出ac，即可求△ABC的面积；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求AC边的最小值．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可化为：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC?2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，即，∵0＜B＜π，∴B=，…又，得accos（π﹣B）=﹣3，∴，即ac=6，…∴△ABC的面积，…（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…解得：b2=a2+c2﹣6

…配方，得：b2=（a+c）2﹣18…由均值不等式知：a+c≥2=2

…∴b2=（a+c）2﹣18≥6∴AC=b≥，即AC边的最小值为．…20.已知是公差d不为零的等差数列，且成等比数列(1)求数列的通项公式(2)若，求数列的前n项和.参考答案：解：(1)由题设可知公差

21.已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先利用导数研究函数的单调性，然后求其最值；（2）将不等式化简归零，然后问题转化为不等式恒成立问题，再构造函数，将问题转化为函数的最值问题，利用导数解决；（3）结合（2）的结论，利用函数的单调性可推出结果．【解答】解：（Ⅰ）令，所以x=a．易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．故f（x）max=f（a）=alna﹣a．（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β