2021-2022学年云南省大理市南涧县小湾东镇中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年云南省大理市南涧县小湾东镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案： C【考点】对数值大小的比较．【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．【解答】解：由题意．故选C．2.设，，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.若函数f（x）的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x∈

（

）A．（0，1）

B．[0，2]

C．（2，3）

D．（2，4）

参考答案：C略4.i是虚数单位，的共轭复数为（） A．﹣1+i B． 1+i C． ﹣1﹣i D． 1﹣i参考答案：D5.已知三个月球探测器，，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是（

）A. B. C. D.以上都有可能参考答案：A【分析】结合题中条件，分别讨论甲对、乙对或丙对的情况，即可得出结果.【详解】如果甲对，则发回的照片是，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片是发回的.得到照片是由发回，照片是由发回.符合逻辑，故照片是由发回；如果丙对，则照片是由发出，甲错误，可以推出发出照片，发出照片，故照片是由发出.故选A【点睛】本题主要考查推理分析，根据合情推理的思想，进行分析即可，属于常考题型.6.下列函数为偶函数的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：D利用奇偶性的判断法则：。即可得到答案为D。考察最简单的奇偶性判断.7.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（

）A．B．C．D．参考答案：C考点：算法和程序框图试题解析：因为，输出。故答案为：C8.若命题为A． B．C． D．参考答案：C全称命题的否定是特称命题，先变量词，再否结论，故选C.9.计算得A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B10.命题：；命题：，，则下列命题中为真命题的是A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知的极坐标方程是：，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是

。参考答案：[-1,3]12.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=

时，{an}的前n项和最大．参考答案：8【考点】等差数列的性质．【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项和最大，故答案为：8．13.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则

．参考答案：因为，所以，，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。14.设实数x，y满足，则的最大值为

。参考答案：2

15.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线l：kx—y一2k=0（k∈R），若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是

。参考答案：16.（2013?黄埔区一模）已知函数，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是_________．参考答案：（﹣∞，1]略17.某校对高一年级8个班参加合唱比赛的得分进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数和平均数分别是

▲

.参考答案：89,88三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：分组频数频率[45，60）20．04[60，75）40．08[75，90）80．16[90，105）110．22[105，120）150．30[120，135）ab[135，150]40．08合计501

（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．参考答案：（1）6、0.12

………2分

（2）成绩在120分以上的有6+4=10人，所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：人.

……6分（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为.

………12分（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）

略19.（本小题满分12分）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，求恰好有3个球落入袋中的概率．参考答案：解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入袋中，故．

………5分（Ⅱ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件与事件为对立事件，从而．

………9分于是恰有3个小球都落入袋中的概率．

………12分略20.(本小题满分14分)已知函数(其中为在点处的导数，c为常数)．(I)求的值。(II)求函数的单调区间；(III)设函数，若函数在区间[-3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．参考答案：（Ⅰ）设=则：

………..2

=

解得

……………….4（Ⅱ）

………621.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝，M为AB的中点．（I）证明：AC⊥SB;（II）求点B到平面SCM的距离。参考答案：（Ⅰ）证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．因为，，所以，，所以，又，所以．

………………（6分）（Ⅱ）解：因为，所以.如图4，过D作于E，连接SE，则，………（8分）所以在中，，，，CM是边长为2的正△ABC的中线，，，．……（10分）设点B到平面SCM的距离为h，则由得，所以． ……………（12分）22.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥AD，A1O⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1O⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，求出平面A1AP的法向量，平面A1ADD1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m即可．【解答】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，∴A1O==，…（2分）∴+AD2=AA12，∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A1（0，0，），…（6分）设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），∵=，=（1，m+1，0），且取z=1，得=．…（8分）又A1O⊥平面ABCD，A1O?平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD