浙江省杭州市外语实验学校2021年高一数学理月考试题含解析

浙江省杭州市外语实验学校2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆被y轴所截得的弦长为（

）A.1 B. C.2 D.3参考答案：C【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.2.如图，F1，F2是双曲线(a＞0,b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．4

B．

C．

D．参考答案：B设；因此；选B.

3.长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（

） A．8

B．±8

C．16

D．±16参考答案：A略5.设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若则；③若，则；④若,则，其中正确命题的序号是（

）A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④参考答案：B【分析】①利用线面平行的性质可得：若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若，则；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．【详解】①若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，不正确；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；正确；③若，则；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．综上可知：②和③正确．故选：B．【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．6.设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（） A．（2，6﹣2） B．（2，+1） C．（4，8﹣2） D．（0，4﹣2）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m， 由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2， 当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2| 当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2， 其图象如图所示， ， ∵f（4﹣2）=2﹣2， 由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2， 不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3， 则由2=m得x1=， 由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m， 由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2， ∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4， 当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2， ∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2． 故选：C． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象． 7.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是()A.

B.[-1,4]

C.[-5,5]

D.[-3,7]参考答案：A8.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，若，则ac的值为A.12 B.11 C.10 D.9参考答案：A【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【详解】在△ABC中，由正弦定理可得化为：即在△ABC中，，故,可得，即故选A【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。9.不等式的解集为(

)A.(－4，1) B.(－1，4)C.(－∞，－4)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(4,+∞）参考答案：A【分析】将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.【详解】原不等式等价于，即，解得.故选A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10.在△ABC中,AB=2,AC=4,∠A=,D为BC边中点,则AD长等于(

)A．1

B．3

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且，则_____________参考答案：【分析】直接利用同角的平方关系求的值.【详解】因为.故答案为：【点睛】本题主要考查同角的平方关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.下列命题中，正确命题的序号是__________．①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像与函数y＝x的图像有3个公共点；④把函数y＝3sin(2x＋)的图像向右平移得到y＝3sin2x的图像．参考答案：①④13.用数学归纳法证明等式时，从到时，等式左边需要增加的项是

参考答案：

14.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

．参考答案：1215.若﹣2≤x≤2，则函数的值域为．参考答案：[，6]【考点】函数的值域．【分析】先写出，从而可设，根据x的范围即可求出t的范围，进而得到二次函数y=t2﹣3t+2，这样配方求该函数的值域即可得出f（x）的值域．【解答】解：，﹣2≤x≤2；设，则；∴；∴时，，t=4时，ymax=6；∴f（x）的值域为．故答案为：．16.不等式的解集是．参考答案：（﹣4，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得（x﹣2）（x+4）＜0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值为______.参考答案：【分析】利用三角形的面积计算公式得?a?bcsinA，求出a2＝2bcsinA；利用余弦定理可得cosA，得b2+c2＝a2+2bccosA，代入，化为三角函数求最值即可．【详解】因为S△ABC?a?bcsinA，即a2＝2bcsinA；由余弦定理得cosA，所以b2+c2＝a2+2bccosA＝2bcsinA+2bccosA；代入得2sinA+2cosA＝2sin（A），当A时，取得最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，利用圆关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为，建立方程组，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用直线l与圆C相切，建立方程，即可求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0得：∴圆心C，半径，由题意，，解之得，D=﹣4，E=2∴圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y+3=0…（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（2，﹣1），设直线l在x轴、y轴上的截距分别为2a，a．当a=0时，设直线l的方程为kx﹣y=0，则解得，此时直线l的方程为…当a≠0时，设直线l的方程为即x+2y﹣2a=0，则，∴，此时直线l的方程为…综上，存在四条直线满足题意，其方程为或…19.（本小题满分10分）求值：参考答案：略20.本小题满分12分已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.参考答案：21.已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2?+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）先进行数量积的坐标运算，并应用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可求得，从而得出f（x）=2sin（2x）+2m，根据函数y=sinx的对称轴为x=，令2x+=，解出x即得f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）由x的范围便可求出2x+的范围：，从而得到f（x）的最小值﹣1+2m=5，解出m即可．【解答】解：（Ⅰ）==；∴；令2x=，k∈Z；∴f（x）的对称轴方程为：x=，k∈Z；（Ⅱ）x∈；∴；∴2x=时，f（x）min=2+2m=5；∴m=3．【点评】考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的对称轴，正弦函数在闭区间上的最．22.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BED⊥平面SAC．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接OE，当E为侧棱SC的中点时，OE为△SAC的中位线，所以SA∥OE，由此能够证明SA∥平面BDE．（2）因为SB=SD，O是BD中点，所以BD⊥SO，因为四边形ABCD是正