图形平移与旋转

第2课时图形平移与旋转第26讲图形与变换第二篇图形与几何1．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为()CA．6B．8C．10D．122．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是()A．格点MB．格点NC．格点PD．格点QB3．(2013·南昌)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为()A．60°B．75°C．85°D．90°C4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2，其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③B【解析】①△AED≌△AEF(SAS)，④易证∠FBE＝90°，又FB＝DC，FE＝ED，∴BE2＋FB2＝FE2可转化为BE2＋DC2＝DE2.5．(2013·泰安)在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为()A．(1.4，－1)B．(1.5，2)C．(1.6，1)D．(2.4，1)C(学P102)【问题】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.(3)通过(1)、(2)作图，你认为利用旋转变换、平移变换作图要注意哪些？类型一识别(画)图形的平移、旋转变换例1(2013·温州)如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．【思路分析】(1)根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；(2)把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．【答案】解：(1)平移后的三角形如图1；(2)如图2，旋转后的三角形如图所示．【解后感悟】本题利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．1．(2014·邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是()DA．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长类型二网格、平面直角坐标系中的图形变换例2(2014·龙东)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【思路分析】(1)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；(2)利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；(3)利用旋转图形的性质，连结对应点，即可得出旋转中心的坐标．【答案】(1)如图所示：△A1B1C即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；(3)旋转中心坐标(0，－2)．【解后感悟】本题是旋转的性质以及图形的平移等知识运用，根据题意得出对应点坐标是解题关键.2．(2014·凉山州)如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)、(2)变换的路径总长．【答案】(1)如图；(2)如图；(3)BB1＝；弧B1B2的长＝

.点B所走的路径总长＝

π.类型三平移、旋转变换解决面积等问题例3(2014·济南)如图，将边长为12的正方形ABCD是沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离AA′等于________．【思路分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12－x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【答案】设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12－x∴x·(12－x)＝32∴x＝4或8，即AA′＝4或8cm.【解后感悟】解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是

.(结果保留π)【解析】如图，△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°.∵AB＝2，∴AC＝＝BC.由旋转变换知，AC＝AC′＝，∠BAC＝∠B′AC′＝45°，∴S扇形ABB′＝

，S△ABC＝

＝1＝S△AB′C′，S扇形ACC′＝

，∴S阴影＝S扇形ABB′－S△ABC＋S△AB′C′－S扇形ACC′

＝

－1＋1－＝

.【经验积累题】【试题】(2013·衢州)【提出问题】(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN.【类比探究】(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．【分析与解】(1)利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，(2)也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和(1)的思路完全一样．解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，(3)首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．解：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.【方法与对策】这是一题从特殊到一般设置的题型，通过基础图形等边三角形到等腰三角形，步步深入设置问题，其实解决问题的策略也是从简单到复杂，即全等三角形到相似三角形解决问题，通过前面方法来解决后面问题，在学习上是经验积累．这是中考热门题型．考虑不全，出现漏解．【问题】如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是________．【分析】学生错误答案15°.错误原因是正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【正解】15°或165°①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图①，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BE＝DF，∴AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，如图②，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BE＝DF，AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.故答案为15°或165°.

(学P104页)1．如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分(平面图)，它是由四边形OABC绕点O进行3次旋转变换后形成的，测得AB＝BC，OA＝OC，∠ABC＝40°，则∠OAB的度数是()A．115°B．116°C．117°D．137.5°第1