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文档简介

第6节双曲线的方程与性质考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知

识

梳

理1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个

叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}， |F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若

时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为

； (3)若

时，则集合P为空集.定点a<c两条射线a>c2.双曲线的标准方程和几何性质————————————————————————————x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)———a2＋b2解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√答案C答案D解析2a＝6⇒|PF2|＝11.答案115.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2020·北京朝阳区质检)已知圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为C.直线l过点M(－2，0)且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是(

) A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分

D.圆的一部分解析

(1)∵MP∥AC，又CA＝CB＝3，∴∠BAC＝∠BMP＝∠MBP，∴PM＝PB，∴PM－PC＝PB－PC＝3<MC＝4，∴点P的轨迹是双曲线的一部分.规律方法

“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系.提醒

利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值.②2a＜|F1F2|.③焦点所在坐标轴的位置.解析

(1)由双曲线方程，得a＝2，c＝4.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|PF1|＝12或|PF1|＝4.(2)因为|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8，所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AB|＝22，所以△ABF2(F2为右焦点)的周长C＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28，故选D.答案

(1)C

(2)D考点三双曲线的几何性质答案(1)2

(2)A答案(1)A

(2)

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