命题及其关系

1.1命题及其关系

某人请客,请了四人,赵二,张三,李四,王五,吃饭时来了赵二,张三,李四三人,王五没来.主人说:“该来的没来”.李四听了“该来的没来”，心想看来我是不该来的，就转身走了,主人看李四走了,又说:“不该走的又走了”.张三一听,起身走了,主人急了,忙去拖他:“我说的不是你呀”这句话说完,赵二也走了.思考：是主人不会说话还是客人误解？情境引入“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.

逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若x2=1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等;(6)3能被2整除.其中(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.特点：①都是陈述句②都可以判断真假思考一：命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题判断为真的语句叫真命题。判断为假的语句叫假命题。理解：

1）判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，切记：判断的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。

2）注意不要把假命题误认为不是命题．分类结论例1

判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x>15.(7)画线段AB=CD.(8)一中的景色多美啊！(9)这是一条大河。真命题真命题假命题假命题疑问句开语句祈使句感叹句判断标准不明确二：命题形式“若p则q”

命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。qp通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式。记作:其中p和q可以是命题也可以不是命题.“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.“若p则q”形式的命题的书写有一些命题虽然表面上不是“若p则q”的形式，但也可以写成“若p则q”的形式。如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。写成“若p则q”的形式为：

若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。例2指出下列命题中的条件p和结论q：若整数a能被2整除，则a是偶数；菱形的对角线互相垂直且平分。解：1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数。2)写成若p，则q的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。例3把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。(1)负数的平方是正数.(2)偶函数的图像关于y轴对称.

(3)垂直于同一条直线的两条直线平行

(4)面积相等的两个三角形全等.(5)对顶角相等.真命题真命题假命题假命题真命题练习1:把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰的中线相等。这是真命题。(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。观察：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；3.

若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.pq┐p

原命题:若p,则q┐q

为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作“┐p”

“┐q”否命题:若┐p,则┐q互否命题原命题(原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；4.

若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.pq┐q

原命题:若p,则q┐p逆否命题:若┐q,则┐p

互为逆否命题

原命题(原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。２、互否命题：如果一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题。３、互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。１、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。三：三个概念四：原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题形式:

原命题:

逆命题:

否命题:逆否命题:命题的否定：若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p若p,则┐q注意区别：否命题既否定条件，又否定结论；命题的否定只否定结论，不否定条件。例4：写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题原命题：逆命题：否命题：逆否命题：若一个整数的末位是0，则这个整数可被5整除若一个整数可被5整除，则这个整数的末位是0若一个整数的末位不是0，则这个整数不能被5整除若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位不是0真真假假

（1）正方形的四条边相等。

逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。原命题：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。

例5：写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题：真假假真

（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0。

逆命题：若X2－３Ｘ＋２＝０，则Ｘ＝１或Ｘ＝２。

否命题：若Ｘ１且Ｘ２，则Ｘ２－３Ｘ＋２０。逆否命题：若X2－３Ｘ＋２０，则Ｘ１且Ｘ２。

真真真真五：一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:

原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假假假假假真真假注意：这4个命题中真命题的个数一定为偶数个。六：

四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆互为逆否原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。结论1：1、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。原结论反设词原结论反设词是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立七：下面是一些常见的结论的否定形式.

不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x，成立结论2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。（4）“一定是”的否定为“一定不是”

（1）a>0；

练习3：用否定的形式填空：

（2）a≥0或b<0；

（3）a、b都是正数；（4）A一定是B的子集；a≤0。a<0且b≥0。a、b不都是正数。A一定不是B的子集。练习4、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题原命题：逆命题：否命题：逆否命题：若，则或。若且，则。若，则且。若或，则。C5．有下列四个命题：①“若x+y=0,则互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≦1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④总结作业：课本P8习题1.1A组2、3

2、设有两个命题：p：|x|+|x-1|≥m的解集