《指数函数的性质与图像》(第2课时) 示范公开课教学设计

《指数函数的性质与图像》教学设计教学目标教学目标（1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；提升学生的数学抽象素养；（2）理解指数函数的概念和意义；提升学生的直观想象素养．（3）能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点），提升学生的数学运算素养．教学重难点教学重难点教学重点：指数函数的图像、性质．教学难点：指数函数的图像性质与底数a的关系．

课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【整体概览】问题1：阅读课本第9~13页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：本节主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质.“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识一一对数函数（指数函数的反函数）的准备知识.通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识，并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数.设计意图：通过引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.【问题导入】问题2：此图片是动画缩略图，本资源为《指数函数的概念引入》情景演示，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.本资源适用于指数函数的概念引入的教学，供教师备课和授课使用.若需使用，请插入动画【情景演示】指数函数的概念引入设计意图：这个例子比问题2更容易让学生得到指数函数的形式，同时能感受到指数函数的变化趋势.教材上的引例（教师可以放在练习环节作为例题来讲解）考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？师生活动：为了不增加学生的知识负担，“情景与问题”对相关原理给出了比较详尽的说明，建议教学时让学生自行阅读“情景与问题”中的内容，并在此基础上完成下面的“尝试与发现”中的问题.设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣.培养学生的数学阅读能力和获取新知识的能力.引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解（板书：指数函数的性质与图像）问题3假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则当x=5730时，；x=11460时，.由此可知，y与x的关系可以表示为y=.师生活动：如果学生完成“尝试与发现”中的填空有困难，教师可以利用以下问题串来帮助学生突破难点：当x=5730时，y的值是多少？当x=时，y的值是多少？当x=时，y的值是多少？当x=时，y的值是多少？上述尝试与发现的函数关系中，自变量出现在指数中.预设答案：；设计意图：培养学生的数学阅读能力和获取新知识的能力.【新知探究】一般地，函数称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.（以下谈到指数函数时，均默认为a是常数，a>0且a≠1）问题4：下列那些函数是指数函数？预设答案：（1）、（6）是指数函数；（2）、（3）、（4）、（5）不是指数函数.设计意图：让学生更清楚的了解指数函数的定义.下面来研究指数函数的性质与图像.作为例子，我们首先分析指数函数y=2x的性质，并得出其对应的图像.问题5分别求出指数函数y=2x在自变量取−2，−1，−eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1,2时，所对应的函数值（填写下表），并由此猜测指数函数y=2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由.x−2−1−eq\f(1,2)0eq\f(1,2)12y=2x预设答案：x−2−1−eq\f(1,2)0eq\f(1,2)12y=2x124此图片是动画缩略图，本资源为《指数函数的图象与性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.，本资源适用于指数函数的图象与性质的教学，供教师备课和授课使用..若需使用，请插入动画【数学探究】指数函数的图象与性质（可以先只显示底数大于1的函数图像，让学生直观看到精准图像）根据指数运算的定义，可以得到指数函数y=2x的性质：（1）定义域是R；（2）值域是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函数；（4）单调性是增函数.教师总结：（1）无论x取正数，零，负数，还是分数，整数，所对应的函数值y都是正数，事实上，由指数幂的定义可以知道，；（2）当x取互为相反数的两个值时，函数值既不相等又不互为相反数，因此函数为非奇非偶函数；（3）随着x取值的逐渐增大，可以发现函数值y也在逐渐增大，因此可以猜测函数在定义域R上是增函数.师生活动：（1）根据以上性质可知，函数y=2x的图像都在x轴上方，而且从左往右图像是逐渐上升的.通过描点（如左下图所示），可以作出y=2x的图像，根据以上性质可知，函数y=2x的图像都在x轴上方，而且从左往右图像是逐渐上升的.通过描点（如左下图所示），可以作出y=2x的图像，如右下图所示.小组讨论研究指数函数的性质与图像.给出研究指数函数的性质与图像的方法，并用该方法填写这个函数的性质：此图片是动画缩略图，本资源为《指数函数的图象与性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.，本资源适用于指数函数的图象与性质的教学，供教师备课和授课使用..若需使用，请插入动画【数学探究】指数函数的图象与性质（可以先只显示底数大于0小于1的函数图像，让学生直观看到精准图像）（1）定义域是R；（2）值城是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函数；（4）单调性是减函数此图片是动画缩略图，本资源为《指数函数的图象与性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率，本资源适用于指数函数的图象与性质的教学，供教师备课和授课使用.若需使用，请插入动画【数学探究】底数互为倒数的两个指数函数注意到，因此不难看出和y=2x是有联系的：当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等.也就是说，如果点（x0，y0）在的图像上，那么这个点关于y轴的对称点（−x0，y0）一定在y=2x的图像上；反之，y=2x的图像上任意一点（x0，y0），其关于y轴的对称点（−x0，y0）也一定在的图像上.因此，指数函数y=2x和的图像关于y轴对称.设计意图：通过指数函数的图像与性质的研究，让学生多花一点时间研究函数的图像与性质，培养学生的化归意识和学生利用对称性来解题的习惯，培养学生用数学的思维方式考虑问题、处理问题.问题6你能指出指数函数和的图像的公共点吗？预设答案：函数y=2x和的图像的公共点为（0，1）.追问1：你能得出指数函数一定过哪个定点吗？预设答案：因为a0=1（a≠0），所以y=ax的图像一定过点（0，1）.追问2：结合函数y=2x和的图像与性质，请同学们归纳出指数函数y=ax（a>0且a≠1）具有的性质？定义域是实数集R..（2）值域是（0，+∞），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.（3）函数图像一定过点（0，1）.（4）当a>1时，y=ax是增函数；当0<a<1时，y=ax是减函数.设计意图：通过指数函数和的图像与性质总结y=ax（a>0且a≠1）的图像与性质培养学生的转化与归纳思维，注重了学生的素养提升，同时，建议教师要放慢速度，讲清楚为什么要构造相应的函数.【想一想】指数函数的定义中，为什么规定预设答案：如果a<0,例如，则等类似的有理数都不在函数的定义域内，函数的定义域过于复杂；如果a=0，则，此时函数的定义域为，而且x>0时，，此时函数的性质是比较简单的；如果a=1，则，此时函数的定义域为R，值域为｛1｝，是个常数函数，函数性质比较清楚.设计意图：让学生更清楚的了解指数函数中为什么规定.【巩固练习】例1.利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）0.8-0.1与0.8-0.2（2）2.5a与2.5a+1.师生活动：教师引导学生考虑解题的方法，每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题.完成后，把自己的答案用投影仪展示出来.建议老师详细讲解（1），（2）由学生自己或小组讨论完成.解：（1）因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2（2）因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a+1，所以2.5a＜2.5a+1设计意图：本例主要考查指数函数的性质应用，如何构造合适的指数函数并借助函数的单调性来解决问题，整个过程并不自然，学生要能看到题目中的共性才能构造出合适的函数，需要教师耐心引导，方能达到提升学生归纳总结的能力.例2已知实数a，b满足，试判断6a与6b的大小.解：因为函数在在实数集R上是减函数，所以由可知a＜b.又因为y=6x在实数集R上是增函数，所以6a＜6b师生活动：建议此例题由学生自己解决并写出解答过程，教师帮助学生总结，引导正确解题思路.设计意图：本例主要考查指数函数的性质应用，如何构造合适的指数函数并借助函数的单调性来解决问题，整个过程并不自然，学生要能看到题目中的共性才能构造出合适的函数，需要教师耐心引导，方能达到提升学生归纳总结的能力.【课堂小结】1．板书设计：4.1.2指数函数的性质与图像1．指数函数例1（1）指数函数的概念例2（2）指数函数的性质例3（3）指数函数的图像练习与作业：教科书第13页练习A1，2,3题；教科书第13页练习B1，2,3题．2．总结概括：问题7：1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图像，可归纳出指数函数具有哪些性质？师生活动：提出以上问题，学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.（以下谈到指数函数y＝ax时，均默认为a是常数，a>0且a≠1）2（1）定义域是实数集R..（2）值域是（0，+∞），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.（3）函数图像一定过点（0，1）.（4）当a>1时，y=ax是增函数；当0<a<1时，y=ax是减函数.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数函数的有关知识．布置作业：教科书第13页练习A1-3,B1-3题．【目标检测】1.若a＝,b＝,c＝,则a、b、c的大小关系是()A．a>b>c B．a<b<cC．a<c<b D．b<c<a设计意图：考查学生对指数函数性质的掌握程度．2.函数y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0,＋∞) B．[0,4]C