《函数及其表示方式》第2课时示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】

第三章函数3.1函数的概念与性质《3.1.1函数及其表示方式》教学设计第2课时教学目标教学目标1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.教学重难点教学重难点教学重点：．函数的三种表示方法.教学难点：简单的分段函数．课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第89~92页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课的过程中回答问题.预设的答案：（1）本节将要研究函数的表示，函数的不同表示方法能丰富学生对函数的认识，帮助学生理解抽象的函数概念.（2）起点是前面学习的函数的概念，目标是会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；了解分段函数．重点提升数学抽象、直观想象等素养.设计意图：通过阅读课本，让学生明晰本节课的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1．问题导入回顾所学的函数以及上一节课的情境与问题中可以感受到高中函数表达方式与初中的不同.2．探究新知知识点1函数的表示方法问题1：函数的表示方法有哪些呢？师生活动：回顾所学知识，师生一起总结.(1)解析法前面我们所接触到的函数y=f（x）中，绝大多数f（x）都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）=2x+1，这种表示函数的方法称为解析法.(2)列表法前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.如果将这个函数记为i=f（y），则从表格中可以看出f（2013）=152.6，f（2015）=171.5(3)图像法如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.一般地，将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x，y）都在函数的图像F上.用函数的图像表示函数的方法称为图像法.问题2：函数的表示方法各有哪些优势？师生活动：师生一起总结.解析法本质上就是将两个变量的函数关系用一个代数式子(即解析式)表示.解析法有两优点：一是精确、全面地概括了变量之间的关系；二是通过解析式可以求出自变量取特殊值时所对应的函数值.解析法的缺点在于抽象.列表法就是列出平脚板表示两个变量的函数关系.列表法的优点是不需要计算就可以直接得到与自变量的值对应的函数值，同时也可以非常直观地看到函数的定义域、值域.缺点是当函数的定义域中包含的元素比较多时，用列表法是不方便的.图像法就是用图像表示两个变量的函数关系.图像法的优点是能够直观形象地表示与自变量的变化相对应的函数值的变化情况，图像法在生产和生活中的应用非常广泛.但是手工绘制函数的图像并不容易.问题3：如何作出一个函数的图像？师生活动：回顾以前作函数图像的方法，师生一起探讨.从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.【画一画】作出函数y=-x+1的图像.师生活动：学生：一次函数y=-x+1的图像是一条直线，又易知图像过点（0，1）和（1，0），所以容易作出其图像如下图所示.三、初步应用例1已知函数f(x)g(x)分别由下表给出.(1)求f(g(1))(2)求不等式f(g(x))>g(f(x))的解集.师生活动：学生自主完成，教师巡视.预设的答案：解：(1)由表格可知f(g(1))=f(3)=1；(2)将x=1,2，3依次代入f(g(x))>g(f(x))中检验，可知满足条件的x只有2，因此解集为{2}.设计意图：让学生更好地理解列表法.例2北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f（x）元.假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的图像.师生活动：与学生一起分析，可以用一个表达式表示出来吗？预设的答案：解：如果x∈[0，180]，则f（x）=5x；如果x∈（180，260]，按照题意有f（x）=5×80+7（x-180）=7x-360.因此注意到f（x）在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f（x）在每个区间上的图像都是直线的一部分，又因为f（180）=5×180=900，f（260）=7×60-360=1460，由此可作出函数图像如下所示.设计意图：让学生更好地理解解析法和图像法.同时了解分段函数.本题的背景是一个生活实例--阶梯水价问题，实行阶梯水价是鼓励大家节约用水，从而保护环境.教师总结：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.说明：分段函数是一个函数.问题4：函数被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像吗？师生活动：与学生一起分析，可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图像不能形象地展示出来.例3设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数.如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由.师生活动：首先让学生依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数.x6.895-1.5-2y6预设的答案：表中数据依次为5,3，-2，-2.解：因为当n∈Z且x∈[n，n+1）时，有y=n，因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1）的区间内.因此给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数.由上可看出，在每一个区间[n，n+1）内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如下图所示.设计意图：让学生了解分段函数以及分段函数的图像表示.教师总结：该例中的函数通常称为取整函数，记作y=[x]，其定义域是R，值域是Z.这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图像是一条垂直于y轴的直线.例4已知函数，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.师生活动：与学生一起分析，教师写出规范解题过程.预设的答案：解：函数的定义域为[0，+∞）.由在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，+∞）.通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示.设计意图：让学生熟悉函数的表示方法的相互转换.例5已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），求这个二次函数的解析式.师生活动：与学生一起分析，让学生独立完成，教师巡视.预设的答案：解：设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.设计意图：在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成.例5已知f（x）=x2，求f（0），f（1），f（2），f（a），f（a-1），f（x-1）.师生活动：与学生一起分析，让学生独立完成，教师巡视.预设的答案：解：由已知可得f（0）=0，f（1）=1，f（2）=4，f（a）=a2，f（a-1）=（a-1）2=a2-2a+1，f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.设计意图：由函数解析式可以求函数值，利用代入法也可以求f(g（x）).说明：如果设g（x）=f（x-1），则有g（x）=x2-2x+1，因此g（x）与f（x）是不同的函数.【探索与研究】已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总结f（x）与f（x-1）的关系.师生活动：与学生一起分析，教师写出规范解答.预设的答案：解：令x-1=t，则x=t+1，所以f(t)=(t+1)2，所以f（x）=(x+1)2.f（x-1）的图像可由f（x）的图像向右平移一个单位得到.设计意图：让学生了解如何由f（x-1）的解析式求f（x）的解析式.方法总结：已知f(g（x）)的解析式可利用换元法求f（x）的解析式.练习：教科书P93练习A2、6、7、8四、归纳小结，布置作业1．板书设计：3.1.1函数及其表示方式1．函数的表示方法2．解析法3．列表法4．图像法5．分段函数例1例2例3例4例52．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）函数的表示方法有哪些？（2）什么叫解析法？什么叫列表法？什么叫图像法？（3）什么叫分段函数？师生活动：学生总结，老师适当补充.作业：教科书P93~94练习B2、6、7、8、9、10【课外拓展】用信息技术作函数图像