几何图形中的动点问题

第六讲

运动型问题第1课时几何图形中的动点问题特征探究几何图形(点，直线，三角形，四边形等)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度，线段，周长，面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试题类型(1)点的运动；(2)线的运动；(3)图形的运动解题策略对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其解题策略中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(如特殊点，特殊值，特殊位置，特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识，及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型去求解 [2017·丽水]如图6－1－1①，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图②所示． (1)求a的值； (2)求图②中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．【解析】过点P作PD⊥AB于点D.(1)先用含x的代数式表示PD，再根据三角形的面积公式确定y与x之间的函数表达式，由函数的图象得到x，y的一组对应值代入可求a的值；图6－1－1(2)在BD中，由解直角三角形知识，用含x和sinB的式子表示PD，同样根据三角形面积公式建立y与x的关系，由函数图形得到x，y的一组对应值，求得sinB，进而确定图2中图象C2段的函数表达式；(3)先求出图象C1段与图象C2段函数值相等时对应的x的值，得到图象C1段函数的最大值，并求出图象C1段函数的最大值在图象C2段对应的x的值，结合函数图象可得到x的取值范围．解：过点P作PD⊥AB于点D.

例1答图①例1答图②(2)当点P在BC上时(如答图②)，PB＝5×2－2x＝10－2x.∴PD＝PB·sinB＝(10－2x)·sinB.∴根据图象x的取值范围是2＜x＜3.【点悟】动点问题常见有两种，一是研究不同的运动状态或探究出现的不同运动结果的条件；二是研究运动状态下的几何量之间的函数关系，前者的解题策略是以静制动，后者的解题策略是以动制动．[2016·青岛]如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连结PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图6－1－2∵∠PIA＝∠ADC＝90°，∠PAI＝∠CAD，∴△API∽△ACD，变式跟进答图①变式跟进答图②(2)如答图②，过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G.(4)如答图③，过点D分别向PE，AC作垂线，垂足分别为M，N.∵∠POD＝∠COD，变式跟进答图③ [2016·郴州]如图6－1－3①，矩形ABCD中，AB＝ 7cm，AD＝4cm，E为AD上一定点，F为AD延长线上一点，且DF＝acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为t(s)，△PAE的面积为y(cm2)，当0≤t≤1时，△PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②所示，连结PF，交CD于点H. (1)t的取值范围为_____________，AE＝_____cm； (2)如图③，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；0≤t≤3.51

图6－1－3【解析】(1)根据面积与时间的关系可以确定t的范围，根据t＝1时，△APE面积为1，即可求出AE；(2)只要证明∠MAD＝∠MFD＝30°即可解决问题；(2)∵四边形AMHP是菱形，∴AM＝MH＝2DM，AM∥PF，∵∠ADM＝90°，∴∠MAD＝30°，∴∠PFA＝∠MFA＝∠MAD＝30°，∴MA＝MF，∵MD⊥AF，∴AD＝DF＝4，例2答图(1)求tanA的值；(2)设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小