第八讲-等边三角形

第4页第八讲等边三角形一．知识回顾1等边三角形的性质和判定.2,含30°RT三角形的性质二．讲解与练习1．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．2．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．3．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．344．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）．5．用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为．6．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=度．7．下列条件：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；④有一条边上的高和中线重合的三角形，其中是等边三角形的有（填序号）．8．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是三角形．899．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么DE的长是．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC=cm．11．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？20．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求证：AC=AD．三．作业1．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点p1、p2、…p2012的位置，则点p2012的横坐标为．2．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．3．△ABC是等边三角形，把∠A按如图折叠，则∠1+∠2=．4．两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC=6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是．6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．7．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点0为坐标原点，B点坐标为（4，0），且△OAB的面积为4，点P从A点出发沿射线AB运动．点Q从B点出发沿x轴正半轴运动，点P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长度．运动时间为t秒，过点P作PH⊥x轴于点H．（1）求A点的坐标；（2）当点P在线段AB上运动时，用含t的式子表示线段BQ的长度．（3）在点P0、点Q的运动过程，当∠PQB=30°时，求点P、点Q运动时间t的值．9．如图，已知等边三角形ABC中，AG⊥BC，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB．求证：PD+PE+PF=AG．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．求证：∠ACD=60°．第八讲等边三角形参考答案与试题解析1．①②③④．2．．3．6．4．①②④）．5．120°．6．30度．7．①②③（填序号）．8．等边．9．1．10．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，故答案为62．11．证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．即∠CAE=∠BAD．△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．即∠CAE=∠BAD．△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．12．解：（1）∠BFD=60°在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA．∴∠AEB=∠CDA，又∠DAC+∠ADC=180°﹣∠C=120°，∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°（2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ACD=120°，△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D，∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=60°，∴∠EAF+∠E=60°，∴∠BFD=60°．13．猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．14．解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立．连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN，∴△DBM≌△DFN，∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BD，∴F在直线NE上，∵BF=EF，∴MF=EN．（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接DF、DE，由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，∴△DNE≌△DMF，∴MF=NE．15．16．证明：（1）∵∠EDF=60°，∴∠CDF+∠EDB=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CDF+∠DFC=120°，∴∠EDB=∠DFC；（2）∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，∴t=3秒，BE=6，BD=3，∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6，∵△EBD∽△DFC，∴=，即=，∴CF=3，∴BE+CF=6+3=9．（3）存在，理由如下．∵△EBD∽△DFC，∴==，∵CF=cm，∴CD=，∴BD=9﹣=，∴BE=9，即t=，∴当t=时，使得CF=cm．17．证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBE=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，∴∠E=30°，∴∠E=∠DBE=30°，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形，∵DF⊥BE，∴BF=EF，即BF=BE，∵∠DFC=90°，∠ACB=60°，∴∠FDC=30°，∴CF=CD=CE，∴CF=EF，∴CF=BE．18．（1）解：AC⊥DE；理由如下：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=∠BAC=30°，∴∠CAE=60°﹣30°=30°，∴∠DAC=∠CAE，∴AC垂直平分DE，即AC⊥DE；（2）解：BC=2CE；理由如下：∵AC垂直平分DE，∴CD=CE，∵BD=CD，∴BC=2CE．19．解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．20．证明：以AB为轴作△ABC的对称△ABC′，如图：则AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，因为∠ABD=90°﹣∠DBC所以2∠ABD+∠DBC=180°所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°即∠ABC+∠ABD=180°所以∠ABC′+∠ABD=180°所以D、B、C′共线又因为∠D=60°所以∠DAC=180°﹣∠C′﹣∠D=60°=∠D=∠C′所以△ADC′是等边三角形，所以AD=AC′=AC．【作业】1．2011．2．．3．120°．4．解：连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=6，∴M=MC=A′M=MC′=3，∵∠MA′C=30°，∴∠MCA′=∠MA′C=30°，∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=180°﹣（150°+60°+90°）=60°，∴∠AMA′=∠C′MC=60°，∴△AA′M是等边三角形，∴AA′=AM=3，故答案为：3．5．①②③6．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，