条件概率与独立性详解演示文稿

条件概率与独立性详解演示文稿当前第1页\共有38页\编于星期五\2点1（优选）条件概率与独立性当前第2页\共有38页\编于星期五\2点2条件概率P(A)=85/100,P(B)=40/100,P(AB)=35/100,P(A|B)=35/40=P(AB)/P(B),且P(AB)≠P(A|B),P(A)≠P(A|B).定义;对于两个事件A,B.如果P(A)>0.称

P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.当前第3页\共有38页\编于星期五\2点3注见教材P15末的说明:当前第4页\共有38页\编于星期五\2点4条件概率的计算公式如下：

例设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率.若改为放回摸取，结果如何？解

设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则不放回:放回:当前第5页\共有38页\编于星期五\2点5不难验证条件概率具有以下三个基本性质：

(1)非负性(2)规范性(3)可列可加性并由此推出条件概率的其他性质：

当前第6页\共有38页\编于星期五\2点6二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B)>0,则

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关.乘法公式当前第7页\共有38页\编于星期五\2点7设A表示某人感染禽流感病毒，B表示死亡，则P(B|A)表示在感染病毒的条件下某人死亡的概率．若该人身体好抵抗力强，则P(B|A)就比较小，否则就比较大．

P(A)表示禽流感病毒的感染率，如果卫生部门的预防工作做得好，则它就比较小．P(AB)表示感染禽流感病毒并导致死亡的概率.当前第8页\共有38页\编于星期五\2点8例1

解当前第9页\共有38页\编于星期五\2点9例2某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，即一等品率为72%.当前第10页\共有38页\编于星期五\2点10例3一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

当前第11页\共有38页\编于星期五\2点11

到底谁说得对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”当前第12页\共有38页\编于星期五\2点12用Ai表示“第i个人抽到入场券”

，i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5.则表示“第i个人未抽到入场券”.因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于由乘法公式

=(4/5)(1/4)

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此=1/5.当前第13页\共有38页\编于星期五\2点13这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，

所以以后在现实生活中需要抽签时,大家尽可以表现出君子风度,让人家先抽,这样做并不会失去任何机会,同时却又表现了礼让的美德.当前第14页\共有38页\编于星期五\2点14例4

在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4．求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？解记Ai=“乙机在第i次被击落”i=1,2；A=“乙机被击落”,

B=“甲机被击落”；显然A１与A２不相容．且Ａ＝Ａ１＋Ａ２，由题意知

则甲机被击落的概率为

当前第15页\共有38页\编于星期五\2点15例4

在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4．求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？解乙机被击落的概率为

当前第16页\共有38页\编于星期五\2点16设有两个事件A,B,一般来说,P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B)=P(A).

显然P(A|B)=P(A)

这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，例如,将一颗均匀骰子连掷两次，设三、事件的独立性当前第17页\共有38页\编于星期五\2点17

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约,且体现对称性.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.定义当前第18页\共有38页\编于星期五\2点18推论1设A,B为两个事件,P(B)>0,则A与B独立的充分必要条件是

P(A|B)=P(A)当前第19页\共有38页\编于星期五\2点19A、B独立证明由独立的对称性,可得其余结论.

当前第20页\共有38页\编于星期五\2点20请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A

、B相容.而P(A)≠0,P(B)≠0,故A、B不独立.由于互不相容,P(AB)=0，即P(AB)≠P(A)P(B)独立与互不相容的关系当前第21页\共有38页\编于星期五\2点21设A、B为互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互不相容的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.当前第22页\共有38页\编于星期五\2点22见教材Ｐ２０的例９Ａ，Ｂ，Ｃ中任意两个均独立，但０．５＝Ｐ（Ｃ）≠Ｐ（Ｃ|ＡＢ）＝１表明事件Ｃ发生的概率受到其余两个事件同时发生的影响．当前第23页\共有38页\编于星期五\2点23下面来定义三个事件的独立性.P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)定义对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同时成立，

则称A,B,C相互独立.

由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独立.但两两独立不一定保证相互独立.

当前第24页\共有38页\编于星期五\2点24

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：等式总数为：需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用独立性的公式来计算概率.

设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式则称A1,A2,…,An为相互独立的事件.当前第25页\共有38页\编于星期五\2点25推论设n个事件Ａ１，Ａ２，Ａ3，…Ａn独立,则他们中任何一部分换成各自的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的．当前第26页\共有38页\编于星期五\2点26对独立事件，许多概率计算可得到简化.利用事件的独立性计算概率当前第27页\共有38页\编于星期五\2点27例6三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

将三人编号为1，2，3，所求概率为记Ai={第i个人破译出密码}

i=1,2,3解123“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”当前第28页\共有38页\编于星期五\2点28请看演示“诸葛亮和臭皮匠”当前第29页\共有38页\编于星期五\2点29例7假定人群中血清带肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率.

解当前第30页\共有38页\编于星期五\2点30（在可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统，它能正常工作的概率称为可靠性.……当前第31页\共有38页\编于星期五\2点31为了提高以上线路的可靠性，用以下两种方法附加n个元件，比较系统的可靠性大小.方法一：

………方法二：

…当前第32页\共有38页\编于星期五\2点32…每对并联元件的可靠性为比较当前第33页\共有38页\编于星期五\2点33课外读物赌徒的谬误

M：琼斯先生和琼斯太太有5个孩子，都是女儿.琼斯太太：我希望我们下一个孩子不是女孩.琼斯先生：我亲爱的，在生了5个女儿之后，下一个肯定是儿子.M：琼斯先生对吗？M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了.事情将是这样进行的吗？M：有人坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出5次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了.他说得对不对呢？

当前第34页\共有38页\编于星期五\2点34M：琼斯先生和琼斯太太第6个孩子是女孩的概率仍然是1/2。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2.掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6.M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了5次国徽向上.这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的.

M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中.在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关.当前第35页\共有38页\编于星期五\2点35如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的.例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率.在日常生活中所说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件.你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的.大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响.比如，第一次世界大战期间，前