考研数学二模拟题及答案

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4.微分方程y

2y

xe2x的特解y形式为（）.

*

2x

*

2x

(A)y

(axb)e(B)yaxe

(C)y

*

ax2e

2x

(D)y

*

(ax

2

bx)e

2x

2022年考研数学模拟试题（数学二）

参考答案

一、挑选题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，惟独一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设x是多项式0P(x)

x

4

ax

3

bx

2

cxd的最小实根，则（）.

（A）P(x0)0（B）P(x0)0（C）P(x0)0（

D）P(x0)0解挑选A.因为limP(x)

x

x0

，又x0是多项式P(x)的最小实根，故P(x0)

0.

2.设lim

xa

f(x)3

xf(a)

a

1则函数f(x)在点xa（）.

（A）取极大值（B）取微小值（C）可导（D）不行导

o

o

解挑选D.由极限的保号性知，存在U(a)，当xU(a)时，

f(x)3

xf(a)

a

0，当xa

时，f(x)

f(a)，当xa时，f(x)f(a)，故f(x)在点xa不取极值.

lim

f(x)f(a)a

lim

f(x)f(a)

a

1

xa

xxa

3

x3

(xa)

2

，所以f(x)在点xa不行导.

3.设f(x,y)延续，且满足f(x,y)f(x,y)，则

f(x,y)dxdy（）

.x2y21

（A）211x2

11y

2

0dx

f(x,y)dy（B）20

dy1y2

f(x,y)dx11x211y

2

（C）2

dx

1x

2

f(x,y)dy

（D）2

dy

f(x,y)dx

解挑选B.由题设知

f(x,y)dxdy2

f(x,y)dxdy210dy

1y

21y2

f(x,y)dx.

x2y21x2y21,y0

解挑选D.

A与

B相像可以推出它们的多项式相像，它们的特征多项式相等，故A，

C正

确，又A和B为实对称矩阵，且A与B相像，可以推出A与B合同，故B正确.

8.A

Amn，R(A)r，b为m维列向量，则有（）.

(A)当rm时，方程组Axb有解

(B)当rn时，方程组Axb有唯一解

(C)当mn时，方程组Axb有唯一解(D)当rn时，方程组

Axb有无穷多解

解挑选D.特征方程r

2

2r

0，特征根r0,r2，

2是特征根，特解y*

形式为

y

*

x(axb)e2x

.

5.设函数f(x)延续，则下列函数中，必为偶函数的是（）

.

xx

（A）

f(t2

)dt

（B）

f2

(t)dt

x

x

（C）

t[f(t)f(t)]dt

（D）

t[f(t)f(t)]dt

解挑选C.因为t[f(t)f(t)]为奇函数，故

x0

t[f(t)f(t)]dt为偶函数.

6.设在全平面上有f(x,y)x

0，

f(x,y)y

0，则保证不等式f(x1,y1)

f(x2,y2)成立的

条件是（）（A）x1x2，y1y2.（C）x1

x2，y1

y2.

（B）x1x2，y1y2.（D）x1

x2，y1

y2.

解挑选A.

f(x,y)x

f(x,y)关于x单调削减，

f(x,y)y

f(x,y)关于y单调增强，

当x1

x2，y1

y2时，f(x1,y1)f(x2,y1)f(x2,y2).

7.设A和B为实对称矩阵，且A与B相像，则下列结论中不正确的是（）

.

(A)A

E与BE相像(B)

A与

B合同(C)

A

E

B

E

(D)

A

EB

E

32

33

解挑选A.当

rm时，rA,br(A)，方程组Axb有解.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）

19.lim(1

x)

x

e

.

x0

x

解答案为

e.

2

11

1

(1x)

x

e

ex

ln(1x)ln(1e

ex

x)11

lim

lim

elim

x0

x

x0

xx0

x

elim1ln(1xx)1elimln(1x)x11elim

1x

e

x0xx0x2

x02x

2

2

u

10设f有二阶延续偏导数，u

f(x,xy,xyz)，则

.

zy

2

2

解答案为xf3xyfxyzf.

uxyf

z

3

2

u

xf

xy(f

xf

xz)xf

x2

yf

x2

yzf

3

32

33

3

32

33

zy

11.设微分方程

y

yx()的通解为yx

y

xlnCx

，则(x)

.

解答案为

12.将y

x

xlnCx

代入微分方程，得

(lnCx)

1ln2

Cx

，故

(x)

1.

x

2

12.数列

n

n中最大的项为

.

3

解答案为3.

【将数列的问题转化为函数的问题，以方便用导数解决问题】

1

1

lnx1lnx

1lnx

设f(x)

xxx

e

x

，f(x)

ex

0xe，

x

2

xe时，f(x)0，f(x)单调增强，故ne时，f(n)

n

n递增，2最大，

xe时，f(x)0，f(x)单调削减，故ne时，f(n)

n

n递减，3

3最大，

x

366

又3982，数列n3

n的最大项为3.

13.方程5x2xdt

80在区间(0,1)内的实根个数为.

01t

解答案为1.令f(x)5x2xdt，f(0)20,f(1)31dt0，

01t801t8

由零点定理知，此方程在区间(0,1)内至少有一个实根，又调增强，故此方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根.f(x)5

1

1x8

0，f(x)单

14.设n阶矩阵A的秩为n2，1,2,3是非齐次线性方程组Axb的三个线性无关的解，则Axb的通解为.

解答案为

1

k1(21)k2(31)，k1,k2为随意常数.

1

,2,3是非齐次线性方程组Axb的三个线性无关的解，则21,31是Ax0

的两个解，且它们线性无关，又nr(A)2，故21,31是Ax0的基础解系，

所以Axb的通解为

1

k1(21)k2(31).

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤）

1

[(1x)xe]sinln(1x)

15.（本题满分9分）求极限lim.

x01xsinx1

解

111

ln(1x)1

ln(1x)1

[(1x)xe]sinln(1x)(1x)xeexeex1lim2lim2lim2elim

x01xsinx1x0xx0xx0x

elim1

ln(1

x

x)1

2elimln(1x)x

1

1

2elim1xe

x0xx0x2x02x

16.（本题满分9分）设f(x)单调且具有一阶延续导数，zf(x(y))满足(y)

zz

xy

0，求可导函数(y).

解z

f，

z

f

xy

(y)，代入方程(y)

zz

xy

0，得(y)ff(y)0，

即(y)(y)，解得(y)Cex，其中C为随意常数.

17.（本题满分1计算积分9分）

2y

21dy11y2

(x2y2

sin3y)dx解画出二重积分区域D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得1

21dy11y2

y2

(x2y2sin3y)dx

(x2y2sin3y)dxdyD

2(x2y2)dxdy22cos

r2drD

1

4d02

230

4(8cos3

22)d20292

318.（本题满分11分）

求微分方程y2

a(y)0(a0)满足初始条件yx

00，yx0

1的特解.

解令yp,ydp

，代入原方程，得

dx

dpdx

ap2

0，dpp2adx，dpp2adx，1paxC，

1由x0,y0,yp1，得C11，1p

ax1，p1ax1，即y1ax1，故y1ax1

dx1

ln(axa1)C，2由x

0,y0得C20，所以y

1

ln(ax1).

a

19.（本题满分11分）

设f(x)和g(x)在区间(a,b)可导，并设在(a,b)内f(x)g(x)f(x)

0，证实在(a,b)内

至多存在一点

，使得f()0.

证设(x)

f(x)e

g(x)

，则

(x)e

g(x)

(f(x)

f(x)

g(x)).

若在(a,b)内存在两个不同的点

1

,2，使得f(1)

f(2)0，

则由罗尔定理知，至少存在一点

介于1,

2之间，使

()0，

22

即e

g()

(f()f()g())0，于是有

f

()f()g()0，与题设冲突，

故在(a,b)内至多存在一点，使得f()

0.

20.（本题满分11分）设有抛物线：y

abx2

，试确定常数

a,b的值，使得

⑴

与直线yx1相切；

⑵

与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大.

解设切点为(x0,y0)，y

2bx，

切线斜率k

2bx

1x

1,y

a

1

，

2b4b111

代入切线方程，得a

4b

1

4(12b

b

a).⑴

又旋转体体积Va

x2

dya

ay

dya

aydy2(a2a3)，

00b

b

V2(2a3a2

)0，解得a0或者a2，V32(26a)，V(0)40,V2

()

40，故a32时，体积V最大，3

2将a代入⑴得b3

323，所以a，b.

434

21.（本题满分11分）

一质量为m的物体以速度

v0从原点沿y轴正方向升高，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k体升高的最大高度.

0），试求物体升高的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物

解按照牛顿其次定律，物体升高的高度

yy(t)所满足的微分方程为

d2

y

dy2

m2

mgk

，

dt

dt

初始条件为y(0)

0,y(0)v0.

dy

dv

2

dvkv

2

v

代入方程，得dtmmgkv，

dt

g

，

dtm

记a

2

g,b

2

k

，

dv

a

2

mdt

bv，

dv

2

22

dt，

abv

积分得1arctanbv

tC，taba

0时，vv0，故C

1arctanbv0

，aba

22.（本题满分11分）

T

设

1

1,2,3,1,

2

T

1,1,2,1,

3

T

1,3,a,3

,

4

3,5,7,1T

T

,

0,1,1,b.

⑴当a,b满足什么条件时，

可由1

,2,3,4线性表示，且表示式唯一？

⑵当a,b满足什么条件时，

可由

1

,2

,3,4线性表示，且表示式不唯一？并求出

的

表示式.

解设x1

1

x2

2

x3

3

x4

4

⑴，其增广矩阵

(1,

2

,3,

1

113011130

21

35101

1

114

,)

~

32

a

7

100a41

1

131b00

2b2

⑴当a

4时，r(1,2,3,4,)r(1,2,3,4)4，方程组⑴有唯一解，即

可由

1,

2,3,

4线性表示，且表示式唯一

.

⑵当a

4时，(1,2,3,

4,)~

111300111

1，

10

b2

故当a4,

b2时，r(1,2

,3,4,)r(1,2

,3,4

)3，方程组⑴有无穷多解，即

可由1,