优秀垂径定理

优秀课件垂径定理第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期六

问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？创设情境：第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期六由此你能得到圆的什么特性？

可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?探究：第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期六探究：

如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期六已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC、AD分别和BC、BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒叠合法DOABEC第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期六垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE归纳：老师提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期六下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期六垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期六巩固：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期六2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期六3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴∴即⊙O的半径为5cm.第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期六4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期六练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。

例1：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期六反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期六反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期六2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期六3.如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，则AB=

；OABC30°854D┌F第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期六

你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期六37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。第十九页，共二十一页，编辑于2023年，星期六ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒第二十页，共二十一页，编辑于2023年，星期六垂径定理的应用