直线与平面垂直的判定(孟利忠公开课)

2.3.1直线与平面

垂直的判定

生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直大桥的桥柱与水面垂直问题1:一条直线与一个平面垂直的意义是什么？引入新课

在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化,你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？BAC直线AB与平面α内过B的所有直线垂直.那么对于平面内不经过点B的直线呢?AB⊥B′C′.∴AB与平面α内的所有直线垂直.通过实例,概括直线与平面垂直的本质,给出定义

定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则称直线l与平面α互相垂直,记作．

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面垂足定义1.直线与平面垂直的意义思考1:如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？BAC思考2:定义包含着哪些真命题?1.如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则.2.如果,则直线l与平面内的任意一条直线都垂直.画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．直线与平面的一条边垂直问题2:虽然定义完美无缺,但难以操作,判断直线与平面垂直能有简单易行的判定方法吗？

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．探究2.直线与平面垂直的判定定理

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．探究思考1:图中平面内与折痕AD垂直的直线有几条?它们有什么位置关系?2.直线与平面垂直的判定定理思考2:你能得到一个直线与平面垂直的判定定理了吗?

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2.直线与平面垂直的判定定理

简称为“若线线垂直,则线面垂直”．线不在多，相交就灵判断:一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则该直线与此平面垂直．()探究:直线与平面垂直的定义与判定定理有什么区别?(任意一条直线)(两条相交直线)两条相交直线决定了平面内所有直线的命运!真有这么牛???平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使请你联想由两个量决定所有量的定理吗?分析：只需证l与平面内任意一条直线m垂直。Alabm∵∴l⊥m.直线与平面内两相交直线垂直决定直线与平面内所有直线垂直

例1

如图，已知，求证又∵又m,n是两条相交直线，∴证明：在平面内作两条相交直线m，n．典型例题

变式如图，已知，求证:m′n′ABCBl随堂练习1.如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交D.不确定2.如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱）中，底面四边形ABCD

满足什么条件时，？分析：要使线线垂直，只要有线面垂直。

底面四边形对角线相互垂直．随堂练习3.如图是一个几何体的三视图，求该几何体的表面积.112ABCD211思考:一个四面体(即三棱锥)的四个面中最多能有多少个直角三角形?4.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.ABCV只要证:AC⊥平面VOB.O例2

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点。(1)求证：MN⊥CD(2)若∠PDA=45o

，求证：MN⊥平面PCD.证

(1)连结AC,BD交于点O,连结NO,MO.∴NO//PA,∴MP=MC,∴MN⊥平面PCD.且OM⊥CD,(2)OABCDPMN又PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCDOM为MN在平面AC内的射影,∴MN⊥CD,连结MP,MC,∵∠PDA=45o且PA⊥AD,∴PA=AD=BC,AM=MB,∠PAM=∠CBM∴

ΔPAM≌ΔCBMN是PC的中点,∴MN⊥PC.又PC∩CD=C,例2

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点。(1)求证：MN⊥CD(2)若∠PDA=45o

，求证：MN⊥平面PCD.∴MP=MC,(2)证法1OABCDPMNΔPAM≌ΔCBM∴MN⊥PC.OABCD