陕西省西安市益华中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

陕西省西安市益华中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为第四象限的角，且

（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A2.已知点(3，1)和(4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是A、

B、

C、

D、或参考答案：C3.若，，则向量与的夹角为

参考答案：C4.函数的图象大致为

A

B

C

D参考答案：C5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+ccosA=bsinB，则△ABC的形状一定是(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不含60°角的等腰三角形参考答案：B【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=，从而得解．【解答】解：由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin（A+C）=sinB=sin2B．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴sinB=1，B=．所以三角形为直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．6.已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m∥”是“∥”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m?α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．7.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A．

B．C． D．参考答案：B【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，根据所给的条件可知取到一个白球的概率和取到一个黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，写出表示式．【解答】解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黑球的概率是其概率为．故选B．8.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0参考答案：A【考点】圆的切线方程．【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．9.若n>0,则n+的最小值为(

)(A)2

(B)4

(C)6

(D)8参考答案：C略10.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前n项和为，若，则正整数K=____．参考答案：略12.已知命题．则是__________；参考答案：13.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（-1，6，1），点G是△ABC的重心，则G点的坐标是___________参考答案：14.设函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是_______。参考答案：（－∞，－1]∪[2，+∞）【分析】根据指数函数和一次函数的值域的知识，求得分段函数每一段的取值范围，再结合函数的值域为列不等式，由此求得实数的取值范围.【详解】当时，；当时，.由于的值域为，故，即，解得.【点睛】本小题主要考查分段函数的值域的求法，考查指数函数和一次函数的值域求法，考查一元二次次不等式的解法，属于基础题.15.设θ∈R，则“sinθ=0”是“sin2θ=0”的

条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）参考答案：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数的倍角公式进行判断即可．解：当sinθ=0时，sin2θ=2sinθcosθ=0成立，即充分性成立，当cosθ=0，sinθ≠0时，满足sin2θ=2sinθcosθ=0，但sinθ=0不成立，即必要性不成立，即“sinθ=0”是“sin2θ=0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要16.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：

参考答案：略17.已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为

。参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知平面DBC与直线PA均垂直于三角形ABC所在平面，（1）求证：PA∥平面DBC；（2）若AD⊥BC，求证：平面DBC⊥平面PAD．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作DO⊥BC，交BC于O，则DO⊥平面ABC，从而PA∥DO，由此能证明PA∥平面DBC．（2）推导出BC⊥PA，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAD，由此能证明平面DBC⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△BDC中，过点D作DO⊥BC，交BC于O，∵平面DBC与直线PA均垂直于三角形ABC所在平面，∴DO⊥平面ABC，∴PA∥DO，∵PA?平面DBC，DO?平面DBC，∴PA∥平面DBC．解：（2）∵直线PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，∵AD⊥BC，AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAD，∵BC?平面DBC，∴平面DBC⊥平面PAD．19.（本小题满分12分）已知p：|5－3x|≤1，q：x2＋(m－3)x＋2－m≤0，若是

的必要不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案：解：由|5－3x|≤1，得－1≤5－3x≤1，即≤x≤2.由x2＋(m－3)x＋2－m≤0知(x－1)[x－(2－m)]≤0.当2－m＝1，即m＝1时，不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|x＝1}．当2－m>1，即m<1时，不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|1≤x≤2－m}；当2－m<1，即m>1时，不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|2－m≤x≤1}．由题意知p是q的充分不必要条件．当m＝1时，{x|≤x≤2}{x|x＝1}，不满足题意，故舍去．当m<1时，{x|≤x≤2}{x|1≤x≤2－m}?2≤2－m?m≤0.所以m≤0时符合题当m>1时，{x|≤x≤2}不可能是{x|2－m≤x≤1}的真子集．综上所述，m的取值范围是m≤0.20.已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的递增区间．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用差角三角函数，结合辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由已知，即可求函数f（x）的递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos=2[]+1=2sin+1=2sin（2x﹣）+1．∴T==π．…（6分）（Ⅱ）由已知得：所以函数f（x）的递增区间为…（12分）【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．21.观察下列方程并回答问题：①②③④（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这个方程的根有什么特点？参考答案：解：（1）①，；②，，③，，由此找出规律，可写出第个方程为：，（2）；（3）这个方程都有一个根是1，一个根是.

22.已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．参考答案：【考点】57：函数与方程的综合运用；53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的单调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈时，h