几何与代数第四章维向量

几何与代数第四章维向量第一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日高斯[德]JohannC.F.Gauss(1777.4-1855.2)

哈密顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)格拉斯曼[德]H.G.Grassmann(1809.4-1877.9)皮亚诺[意]G.

Peano

(1858.8-1932.4)亥维赛[英]O.

Heaviside(1850.5-1925.2)第二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日第四章n维向量§4.1n维向量空间§4.1n维向量空间

一.n维向量的概念

n维向量本质

表现形式

几何背景

n个数a1,a2,…,an构成的有序数组向量/点的坐标列矩阵行矩阵

行向量

列向量

分量

第三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间1.定义.与矩阵的线性运算相同二.n维向量的线性运算2.性质.与矩阵的线性运算性质相同

=k11+k22+…+kss

n维向量数3.线性组合:k11+k22+…+kss

4.能由1,2,…,s线性表示:第四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间

,则与共线能由线性表示几何:

k1k2=k1+k2

与不共线,则与,共面能由,线性表示第五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间代数:n=,a1n

a2n

…asn

2=,a12

a22

…as2

1=,a11

a21

…as1

…,

=,b1

b2

…bs

k11+k22+…+knn

k1a11

+

k2a12

+…+kna1nk1a21

+

k2a22

+…+kna2n…

………k1as1

+

k2as2

+…+knasn=a11k1

+

a12k2

+…+a1nkna21k1

+

a22k2

+…+a2nkn…

………as1k1

+

as2k2

+…+asnkna11

a12

…

a1na21

a22

…

a2n…

………as1

as2

…

asn

k1

k2

…kn

A=(1,2,…,n)能由1,2,…,n线性表示方程组Ax=有解第六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间例1.n维基本单位向量组e1=100…,e2=010…,en=001….…,第七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间任何一个n维向量=a1a2an…都能由e1,e2,…,en线性表示.=a1

100…+a2

010…+…+an

001….事实上,第八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间5.向量组等价1,…,t能由1,…,s线性表示——1,2,…,s与1,…,t等价

1,…,s能由1,…,t线性表示能由线性表示,例2:

20

30,

10

01,能由线性表示.

20

30,

10不能由线性表示.

20

30,

01第九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间例3.I:1=(1,1),2=(1,1),3=(2,1),II:1=(1,0),2=(1,2).即I可以由II线性表示.1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量组I与II等价.第十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间简记为A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s第十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间简记为B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12s1

2

m

第十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间矩阵的乘积Cmn

=

AmsBsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:注①向量组的线性表示与矩阵乘积第十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间注②向量组之间的等价关系具有以下性质:(对称性)若I与II等价,则II与I等价.(传递性)若I与II等价且II与III等价,则I与III等价.(反身性)1,…,s与其自身等价.

A=BM,B=AN

B=CU,C=BV

A=CUM,

C=ANV

I与II等价II与III等价以列向量组为例,设I,II,III对应A,B,C:I与III等价.第十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间注③矩阵等价与向量组等价初等行变换矩阵A与B的行向量组等价

(行等价)B=MAA=NB

初等行变换第十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间矩阵A与B的列向量组等价

(列等价)

B=AM

A=BN

初等列变换初等列变换第十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间初等行变换(1)无法通过初等列变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.初等列变换(1)无法通过初等行变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.第十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间

1000A=

0001B=矩阵A与B等价,但它们的行向量组不等价,列向量组也不等价.第十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间例4.2=3=

021,I:1=

112,

150,2=

20

t

,II:1=

113,令A=(1,2)=

101221,B=(1,2,3)=.121

1053t0第十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间(A

B)=

10121

12105

213t0初等行变换10121

0111

2

0000010121

011t4

2

000102t0t=5(B

A)=121101051235021初等行变换121

1001

31100000当t=5时,I与II等价.第二十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间1.Rn={(a1,…,an)T|a1,…,an

R}三.Rn的子空间SRn,且S对加法及数乘封闭,即2.Rn的子空间S:,S,kR,有+S,kS,注:Rn平凡子空间①S={}.②S=Rn.第二十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间3.三个典型的例子(1)K(Asn)={x|Ax=}Rn

——A的核空间,Ax=的解空间

A(k)=k(A)=

A

=,A

=,K(A),kR,A(+)=A+A=

+K(A)kK(A)第二十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间3.三个典型的例子(2)R(Asn)={Ax|xRn}Rs

——A的值域,列空间

(1)K(Asn)={x|Ax=}Rn

——A的核空间,Ax=的解空间

(3)L(1,…,s)——1,…,s生成的子空间

={k11+…+kss|k1,…,ksR}(A的列向量组生成的子空间)第二十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间注:①

时,{x|Ax=}Rn

L(1,…,t)={k11+…+ktt|k1,…,ktR}L(1,…,s)={k11+…+kss|k1,…,ksR}L(1,…,s)=L(1,…,t).②1,…,s与1,…,t等价不是Rn的子空间!第二十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日§4.2向量组的线性相关性

一.线性相关和线性无关

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性不全为零的k1,k2,…,ks使1,2,…,s线性相关:k11+

k22+…+kss

=

k11+…+kss

=

k1

=…=ks

=0.1,2,…,s线性无关:1.定义第二十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性几何:

①,共线

,线性相关.

k1k2=k1+k2

②,,共面

,,线性相关.

k1k2+1=

2

=,2+

=.第二十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性代数:n=,a1n

a2n

…asn

2=,a12

a22

…as2

1=,a11

a21

…as1

…,

=,

00…0

k11+k22+…+knn

k1a11

+

k2a12

+…+kna1nk1a21

+

k2a22

+…+kna2n…

………k1as1

+

k2as2

+…+knasn=a11k1

+

a12k2

+…+a1nkna21k1

+

a22k2

+…+a2nkn…

………as1k1

+

as2k2

+…+asnkna11

a12

…

a1na21

a22

…

a2n…

………as1

as2

…

asn

k1

k2

…kn

A=(1,2,…,n)1,2,…,s线性相关方程组Ax=

有非零解第二十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.1n维向量空间例4.n维基本单位向量组

e1=100…,e2=010…,en=001……,k1

100…+k2

010…+…+kn

001…=k1k2kn…线性无关.第二十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性例5.1=1213,2=

122

.

2121,4=1120,3=k11+k22+k33+k44

=

k1

+

k2

+2k3

+k4

2k1

k2

+

k3

+2k4

k1

+2k2

+2k3

2k43k1

k3

+

k4

1

1

2121

1

21222301

k1

k2

k3

k4

第二十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性例5.1=1213,2=

122

.

2121,4=1120,3=A=

1

1

2121

1

21222301

线性相关Ax=

有非零解,其中3(7)=0|A|=0

=7.第三十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性2.几个常用的结论(1)含有零向量的向量组一定线性相关.(3){,}线性相关(2){}线性相关1+0=.例如:=.存在k0使得k=

设

=k,不妨设k0()

=.lk与的分量成比例.k+l=()则1k=.第三十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性(4)1,…,s线性相关若1,2,…,s,s+1,…,t线性无关,1,…,s,s+1,…,t也线性相关.则1,2,…,s也线性无关.不全为零的k1,…,ks,ks+1,…,kts.t.k11+…+kss+0s+1+…+0t=不全为零的k1,…,kss.t.k11+…+kss

=k11+…+kss+ks+1s+1+…+ktt

=第三十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日令则关键

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性特别地,任意n+1个n维向量线性相关.(5)当s>n时,n维向量1,…,s

线性相关.A=(1,…,s),Ax=中未知量的个数s>方程的个数n,因而有非零解.第三十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日关键

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性,,…,(6)若线性相关,其中1,2,…,s维数相同,则1,2,…,s也是线性相关的.2

2s

s

1

1k1

+k2

+…+ks

2

2s

s

1

1=

=k11

+k22

+…+kss

k11+k22+…+kss

第三十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性3.判定k11+k22+…+kss

=

ki0kii

=k11ki1i1ki+1i+1…kss

i

=1i1i+1…s

k1

ki

ki1

ki

ki+1

ki

ks

ki

i

=k11+ki1i1+ki+1i+1+…+kss

k11ki1i1+1i

ki+1i+1…kss

=第三十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性3.判定定理4.1.1,2,…,s(s2)线性相关i可由其余的向量线性表示.第三十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性因而1,2,…,s线性相关.k11+k22+…+kss=.存在不全为零的k1,k2,…,ks,k使得若k=0,则k1,k2,…,ks不全为零,且k11+k22+…+kss+k

=.1,2,…,s,线性相关1,2,…,s线性无关k0

能由1,2,…,s线性表示.第三十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性定理4.2.

能由1,2,…,s线性表示,1,2,…,s线性无关1,2,…,s,线性相关并且表示的方式是唯一的.

=k11+k22+…+kss

=l11+l22+…+lss

=(k1l1)1+(k2l2)2+…+(ksls)s

第三十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日任意n+1个n维向量线性相关

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性

能由1,2,…,n线性表示.例6.n维向量1,2,…,n线性无关为任意一个n维向量1,2,…,n,线性相关定理4.2第三十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性定理4.3.表示,并且t>s,令A=(1,2,…,s),B=(1,2,…,t),t>sCx=有非零解Bx=有非零解1,2,…,t是线性相关的.若1,2,…,t

可由1,2,…,s线性则1,2,…,t是线性相关的.则存在Cst使得B=AC.证明:第四十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性定理4.3.表示,并且t>s,若1,2,…,t

可由1,2,…,s线性则1,2,…,t是线性相关的.若1,2,…,t

可由1,2,…,s

线性表示,且1,2,…,t线性无关,则若向量组1,2,…,s和1,2,…,t

都线性无关,并且这两个向量组等价,则推论2.ts.s=t.推论1.第四十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性二.向量组的极大无关组和秩设1,2,3,4,5线性相关比如说4能由其余的线性表示设1,2,3,5线性相关去掉1

设2,3,

5线性无关去掉4比如说1能由其余的线性表示1,

2,3,4,

5能由2,3,

5线性表示第四十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性1.极大无关组若{}

,…,

i1

,i2

ir

线性无关;,…,

i1

(1),i2

ir

(2)1,2,…,s中任一向量都可由线性表示,,…,

i1

,i2

ir

极大(线性)无关组.为1,2,…,s的一个,…,

i1

则称,i2

ir

{1,2,…,s}且注:1,2,…,s与

,,…,

等价.i1

i2

ir

第四十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性例如,

11中,

01,

10,3=1=2=2,

3线性无关,1,

2,3能由2,

3线性表示,可见2,

3也是1,

2,3的一个极大无关组.1,

2线性无关,1,

2,3能由1,

2线性表示,可见1,

2是1,

2,3的一个极大无关组.可见1,

3也是1,2,

3的一个极大无关组.1,

3线性无关,1,2,

3能由1,

3线性表示,第四十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性极大无关组,是1,2,…,s的一个极大无,…,

i1

设,i2

ir

关组,也是1,2,…,s的一个,…,

,j1

j2

jt

则线性无关,,…,

(2),j1

j2

jt

i1

i2

ir

能由

,,…,

线性表示.,…,

,j1

j2

jt

线性无关,,…,

i1

(1),i2

ir

能由

,,…,

线性表示.,…,

,j1

j2

jt

i1

i2

ir

根据前面的推论2可知r

=t.第四十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性定理4.4.同一个向量组中,任意两个极大无关组所含向量的个数相等.2.向量组的秩1,2,…,s的极大无关组,…,

i1

,i2

ir

秩{1,2,…,s}

r

1,…,t

可由1,…,s

线性表示rp

i1

ip

,…,

,…,

j1

jr

可由线性表示,即r{1,…,t}r{1,…,s}.第四十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性定理4.4.同一个向量组中,任意两个极大无关组所含向量的个数相等.2.向量组的秩1,2,…,s的极大无关组,…,

i1

,i2

ir

秩{1,2,…,s}

r

1,…,t

与1,…,s

等价推论.

r{1,…,t}=r{1,…,s}.1,…,t

可由1,…,s

线性表示定理4.5.

r{1,…,t}r{1,…,s}.第四十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性例7.r{1,…,n}=r

{,…,}{1,

…,s}j1

jr

,…,

线性无关j1

jr

1,…,n有极大无关组

,…,

i1

ir

i能由

,…,

线性表示j1

jr

,…,,i能由

,…,线性表示j1

jr

i1

ir

,…,,i线性相关j1

jr

,…,

为1,…,n的极大无关组j1

jr

第四十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性例7.r{1,…,n}=r

{,…,}{1,

…,s}j1

jr

,…,

线性无关j1

jr

,…,

为1,…,n的极大无关组j1

jr

注:①只含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩为0.②1,2,…,s线性无关r{1,2,…,s}=s.第四十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性三.向量组的秩与矩阵的秩初等行变换矩阵A与B的行向量组等价

(行等价)B=MAA=NB

初等行变换初等行变换不改变行(向量组的)秩第五十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性三.向量组的秩与矩阵的秩初等行变换Ax=当且仅当Bx=B=MAA=M1B

初等行变换初等行变换不改变列(向量组的)秩Ax=有非零解当且仅当Bx=有非零解(1,…,n)线性相关当且仅当(1,…,n)线性相关第五十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性112040132200023000001

2

3

4

5

1

2

3

4

极大无关组极大无关组秩(1,2,3,4,5)=3.秩(1,2,3,4)=3.阶梯形矩阵的行秩=秩=列秩

第五十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性初等行变换不改变行秩初等行变换不改变列秩阶梯形矩阵的行秩=秩=列秩

定理4.6.任意矩阵的行秩=秩=列秩.第五十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性3

=–1–2,5

=41+32–34.初等行变换解:故A的第1,2,4列为A的列向量组的一个最大无关组,例8.求矩阵组的一个极大无关组,并把其余列向量用这个极大无关组线性表示出来.的列向量第五十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日物理几何论向量，通观大小及方向。且看加法与数乘，代数形式可推广。分块矩阵向量组，手足情深常相伴。线性相关有冗余，选出代表得精华。n维向量

第五十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日注:dim{}=0.§4.3子空间的基和维数

一.基和维数

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数Rn

V

{1,

…,s}

——能由1,…,s线性表示——线性无关V的一组基

V的维数dimV=s

第五十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数极大无关组,是1,2,…,s的一个极大无,…,

i1

设,i2

ir

关组,也是1,2,…,s的一个,…,

,j1

j2

jt

则线性无关,,…,

(2),j1

j2

jt

i1

i2

ir

能由

,,…,

线性表示.,…,

,j1

j2

jt

线性无关,,…,

i1

(1),i2

ir

能由

,,…,

线性表示.,…,

,j1

j2

jt

i1

i2

ir

根据前面的推论2可知r

=t.1,…,r是V的一组基,

1,…,t也是V的一组基,

1,…,r线性无关,1,…,t能由1,…,r线性表示.1,…,t线性无关,1,…,r

能由1,…,t线性表示.第五十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数例9.n维基本单位向量组

e1=100…,e2=010…,en=001……,k1

100…+k2

010…+…+kn

001…=k1k2kn…是Rn的一组基.dimRn=n.第五十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数例10.V={(x,y,z)T|x+2y3z=0}={(2y+3z,y,z)T|y,zR}=y+z

2y+3z

y

z210

301

210

301

,线性无关210

301

,为V的一组基,dimV=2.第五十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数例7.r{1,…,n}=r

{,…,}{1,

…,s}j1

jr

,…,

线性无关j1

jr

1,…,n有极大无关组

,…,

i1

ir

i能由

,…,

线性表示j1

jr

,…,,i能由

,…,线性表示j1

jr

i1

ir

,…,,i线性相关j1

jr

,…,

为1,…,n的极大无关组j1

jr

.dimV=r

V有一组基1,…,r

{1,…,r}V

1,…,r

,能由1,…,r线性表示

1,…,r

,线性相关

1,…,r

线性无关

能由1,…,r表示1,…,r为V的一组基第六十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数是1,2,…,s的一个极大无,…,

i1

设,i2

ir

关组,L(1,…,s)={k11+…+kss|k1,…,ksR}能由

,,…,

线性表示i1

i2

ir

可见

,,…,

是L(1,…,s)的一组基,i1

i2

ir

dimL(1,…,s)=r{1,…,s}.第六十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数定理4.7.设V=L(1,…,s),则1,…,s的

每一个极大无关组都是V的一组基且dimL(1,…,s)=r{1,…,s}.求L(1,2,3,4)的一组基和维数.例11.设A=[1,2,3,4]=101210111111,第六十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数解:初等行变换可见dimL(1,2,3,4)=2,1,2是L(1,2,3,4)的一组基.注:此外1,3也是L(1,2,3,4)的一组基.

还有1,4.100210110110101210111111第六十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数二.坐标和坐标变换公式

1,2,…,r——V的一组基

=k11+k22+…+krr

(k1,k2,…,kr)T——

在基1,2,…,r

下的坐标

例如=a+b+c

a

b

c

100

010

001=ae1+be2+ce3

1.坐标第六十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数例如=a+b+c

a

b

c

100

010

001=ae1+be2+ce3

=(ab)+(ac)+(a+b+c)

101

110

111=(ab)1+(ac)2+(a+b+c)3

在e1,e2,e3下的坐标为

a

b

c

a

b

c

1,2,3下的坐标为

ab

ac

a+b+c

第六十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

——从1,…,r到1,…,r的

过渡矩阵

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数2.过渡矩阵1,2,…,r——V的一组基1,2,…,r——V的另一组基A=(1,2,…,r),B=(1,2,…,r)B=ACrr

r=秩(B)C可逆秩(C)r

秩(C)=r

A=BC1

从1,…,r到1,…,r的过渡矩阵为C1

第六十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数3.坐标变换1,2,…,r——V的一组基1,2,…,r——V的另一组基A=(1,2,…,r),B=(1,2,…,r)

=x11+…+xrr

B=AC,A=BC1

=Axx=

x1

xr

…=y11+…+yrr

=Byy=

y1

yr

…第六十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数3.坐标变换1,2,…,r——V的一组基1,2,…,r——V的另一组基A=(1,2,…,r),B=(1,2,…,r)

=x11+…+xrr

B=AC,A=BC1

A(xCy)=

=Ax=y11+…+yrr

=By=ACyxCy=

x=Cy

y=C1x

第六十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.3子空间的基和维数定理4.8.1,2,…,r——V的一组基1,2,…,r——V的另一组基A=(1,…,r),B=(1,…,r)B=AC,=Ax=By

x=Cy,y=C1x.3.坐标变换第六十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日§4.4向量的内积

一.内积和正交性

第四章n维向量§4.4向量的内积设非零向量

=(a1,a2,a3),

=(b1,b2,b3)之间的夹角为,则i

j

k

=||||||||cos=a1b1+a2b2+a3b3.

=/2

=0cos=0a1b1+a2b2+a3b3=0.第七十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积

=(a1,a2,…,an)T与

=(b1,b2,…,bn)T

的内积,=a1b1+…+anbn=aibi

n

i=1的长度(模)||||=a12+…+an2.=T.显然,,=,;

a+b,=a,+b,;,0;,=0=.||||=1时称为单位向量.第七十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积

=(a1,a2,…,an)T||||0

令

=1||||,则||||=1.把单位化

容易验证||k||=|k|||||.第七十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积,x2+2,x+,

n=(aix+bi)20(xR)i=1=(2,)24,,0,2,,.

=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T

=(a1+a2+…+an)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x

+(b1+b2+…+bn)2

2

2

2

2

2

=(a1

x2+2a1b1x+b1)+(a2

x2

+2a2b2x+b2)+…+(an

x2+2anbnx+bn)2

2

2

2

2

2

第七十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日Cauchy-Schwartz不等式

第四章n维向量§4.4向量的内积,2,,

=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T

(a1b1+…+anbn)2(a1+…+an)(b1+…+bn)2

2

2

2

|,|||||||||||+||2=+,+=(||||+||||)2

=,+2,+,||||2+2||||||||+||||2

||+||||||+||||第七十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积若,,则,的夹角当,=0时,=/2,称与正交,记为.

=arccos,||||·||||,0

此时||+||2=+,+=,+2,+,=||||2+||||2

定理4.9.(1)||+||||||+||||.(2)

||+||2=||||2+||||2.第七十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积正交向量组:1,…,s两两正交.如e1=100…,e2=010…,en=001……,又如,,.121111101第七十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积定理4.10.设1,2,…,s是正交向量组,

则1,2,…,s线性无关.k11+k22+…+kss=

1,2,…,s是正交向量组0=k11+k22+…+kss,1

=k11,1

+k22,1

+…+kss,1

=k1||1||2

k1=0第七十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积标准正交向量组:1,…,s两两正交且1,…,s都是单位向量如1211=,1626161112=,1313131013=0.1212第七十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积ki=,i,i=1,2,…,s.例12.设1,2,…,s是标准正交向量组,

=k11+k22+…+kss,则=k11+k22+…+kss,1

=k11

,1

+k22,1

+…+kss,1

=k1||1||2

=k1.,1证明:…第七十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积二.标准正交基和Schmidt正交化方法

1,…,s——V的一组基两两正交,且均为单位向量V——向量空间V的标准正交基

如e1=100…,e2=010…,en=001……,Rn的一组标准正交基.第八十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期日

第四章n维向量§4.4向量的内积例