广东省惠州市惠东铁涌中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省惠州市惠东铁涌中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36 B．24 C．12 D．6参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其中底面边长为3的正方形，棱锥的高为4，∴四棱锥的体积．故选C．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．2.将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A． B．1 C． D．2参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y=sinω（x﹣），再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣）的图象，再根据所得图象关于点对称，可得ω??﹣=kπ，k∈Z，求得ω=2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω=2，故选：D．3.实数，，的大小关系正确的是(

)A．B．

C．

D．参考答案：C略4.已知M是抛物线上一点，F为其焦点，C为圆的圆心，则的最小值为(

)．A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B【分析】设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来.【详解】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题.解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化.5.我们把具有以下性质的函数

称为“好函数”：对于在定义域内的任意三个数，若这三个数能作为三角形的三边长，则也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数：

①

②③，

④，.其中是“好函数”的序号有（

）

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①③④参考答案：B6.已知是所在平面内一点，为边中点，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：B因为为边中点，所以由得，即,所以，选B.7.在△中，已知，，分别为，，所对的边，且，，，则等于A．

B．或

C．

D．或

参考答案：D略8.长方体内部挖去一部分的三视图如图所示，则几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由三视图可知，该几何体是一个长方体内部挖掉一个半圆锥，其中长方体的长宽高分别为，圆锥的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.

9.“”是“函数在区间上为增函数”的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：B函数在区间上为增函数,则满足对称轴，即，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选B.10.是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；③；④其中错误命题的个数是

（

）

A．1个

B．0个

C．4个

D．2个参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(坐标系与参数方程选做题)圆和圆的极坐标方程分别为，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．参考答案：把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：和，所以两圆心坐标为（2,0），和（0，-2），所以经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为。12.若集合，，则

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集、并集、补集.【试题分析】,，所以由集合的基本运算得,故答案为.13.已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB=

．参考答案：略14.定义在（0，）的函数f（x）=8sinx﹣tanx的最大值为．参考答案：【考点】三角函数的最值．【分析】利用导函数研究其单调性，求其最大值．【解答】解：函数f（x）=8sinx﹣tanx，那么：f′（x）=8cosx﹣=，令f′（x）=0，得：cosx=∵x∈（0，），∴x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上是单调增函数．当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，）上是单调减函数．∴当x=时，函数f（x）取得最大值为故答案为：．【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题．15.已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为______

_____．参考答案：{x|x>1}.16.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是

参考答案：17.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分)已知数列{}的前n项和，数列{}满足=．

(I)求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；

(Ⅱ)设，数列{}的前n项和为Tn，求满足的n的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即.

当时，∴，…∴，即.∵，∴，即当时，.

……又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是，∴.

…………6分（Ⅱ）∵,∴,

……………8分∴=.…10分由，得，即，单调递减，∵，∴的最大值为4.

……………………12分略19.在数列{an}中，，，且对任意的n∈N*，都有.（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*都有，求实数m的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由可得．

又，，所以.所以是首项为2，公比为2的等比数列.

…3分所以.

…4分所以.…………6分（Ⅱ）因为.………8分所以.

………10分又因为对任意的N*都有，所以恒成立，即,即当时，.

………12分20.2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：家庭月收入（单位：元）2千以下2千～5千5千～8千8千～一万1万～2万2万以上调查的总人数510151055有二孩计划的家庭数129734（Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．

收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数

无二孩计划的家庭数

合计

（Ⅱ）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）50.025k2.0722.7063.8415.024K2=．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6，从而得到2×2列联表，从而求出K2≈4.327＞3.841，从而有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6

收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数121426无二孩计划的家庭数18624合计302050因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），=，，，，∴X的分布列为：X0123P．21.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.参考答案：【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.【参考答案】（1），--------------3分由,得的单调递增区间是.

--6分（2）由已知，，-------------9分由，得，，.

-----------------------12分22.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．【解答】解：（1）∵C（﹣4，0）、D（0，4），∴直线CD方程为．化简得x﹣y+4=0．又∵△AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=．∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，即=，即=，解之得a=4；（2）C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|==4，设P到直线CD的距离为