上海交通大学物理竞赛试题解答

第八届上海交通大学

大学生物理竞赛试题及参考答案上海交通大学物理协会版权所有，未经授权不得修改、复制、翻录、传播、翻译、汇编、公之于众。第_试一雨滴的初始质量为m°，在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积：dm—=kmvdt式中k为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻力。答：由变质量的运动方程:(m+dm)(v+dv)-mv-udm=mgdt，此处u=0dm dv—v+m—=mgdt dtdm—=kmvdtdv:.kmv2+m—=mg

dtdv—=g-kv2dt速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变化。考虑一个平面，一条直线把平面分为左右两边，质点在两边的势能分别为匕和Ur，当一个质点以速率v斜入射并通过这条直线时，方向如何变化？答：设左右两边分界线为直线1，粒子运动速度与l的法线夹角为七。当粒子经过1后，速度为v,,与法线夹角七。 '平行于界面动量不变：mvsin。=mvsin0机械能守恒:1mv2+U=2由此解出:=arcsin(VW:'2(Ul—U)+v2m一个理想成像的薄凸透镜，一个直的傍轴物体，与主光轴有一定倾斜角，它的像是直的还是弯的？（1） 请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明。（只需在平面坐标下证明）（2） 你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么？答：（1）设y轴为凸透镜，焦距f，物所在直线方程为y=kx+b（x<0）。由成像公式1+V=f，且物处于y轴左侧，有TOC\o"1-5"\h\z1 1 1—+一=一—xx‘fy x_=— y —x・•・V=y-—=(kx+b)—x x.•・y'=(k+b(1-f)—b.•・y'=(k--)—+b一 b 一―一，…所以，像所在曲线方程y=（k-"、+b仍为直线，所以成像是直的。（2）假设一束光通过此物体所有点，即沿着此物体传播，那么此光线的折射光线仍然要沿着像上个点传播。由于折射后光仍是直线传播，所以成像必须是直的。已知哈雷彗星的周期为76年，试估计其轨道的长半轴。答：由开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与周期平方成正比。用a,T表示哈雷彗星轨道的半长轴和周期，用％,T。表示地球轨道的半长轴和周期。则： 00a3 a3=—o—T2T20 _,'76years3lyear 0・•・a=17.94AulAu=1.49x1011m・.・a=2.67x1012m本题只要估计合理即可。如果了解光从太阳射到地球大概要8分钟，对Au的数量级估计是不会错的。5，一质点在xy平面运动，受力其中r为离开原点的距离，e0为横向（垂直于位移矢量「）单位矢量。试分析此力对质点的做功情况，这个力是保守力还是非保守力?答：在平面极坐标下:c人F=0r+—Qr- _ -尸ds=drr+rd^^做功W：___f— „-c.cW=JF•ds=0+cd。=cA0i此力做功仅和角度有关，AO为路径绕过原点的角度。沿一条包围原点的闭合路径做功，则W=2兀•30,所以F不能沿任何闭合路径做功为零，所以F不是保守力。6，水的定压比热容为4.186kJ/（kg-K），可近似看成与温度无关。（a）在恒压条件下，0oC的1.0kg水突然与100oC的热库接触，当水达到100oC时，求水和热库的总熵变。（b）在恒压条件下，如果0oC的1.0kg水先与50oC的热库接触，平衡后再与100oC的热库接触，求整个系统的熵变。附注：熵的定义：熵是一个状态函数，记作S，它在状态1、2之间的差值定义为：AS=S2-S1=J2岑（沿可逆过程）答：(a)对水:Q=*(T-T0)

ds=竺=mS£T TAS=3f3mCpdT=mCln(竺)=1.306kJ/KT p273273对热库:T=373KAS=—mCp(T-Q=-1.122kJ/KT总熵变：0.184kJ/K(b)对水：熵变仍为1.306kJ/K对热库1：—Mp(气—孔)=_0.648J/KT1对热库2：AS2AS2-mC(T-T)T2=-0.561kJ/K总熵变:AS=1.306-0.648-0.561=0.097J/K求解如图所示用一根细线悬挂圆规时，圆规张开多大的角度可以使其旋转点(即两臂连接处)抬升得更高，假定圆规两臂的长度相等。假定圆规臂上质量分布均匀。 答：arccos(1/3)

如图，A为悬挂点，0为旋转点，B为另一脚端点。可知，两脚的重心为它们的中点E、C，整个圆规重心在EC中点F，悬挂时绳的延长线肯定过F，做OH垂直于AF，则AH代表了O的高度，想让O最高，则使AH最短。在直角三角形AHO中，AH=AOcos(A),这样就仅需求出角A的最大值。因为OE=OC,F为CE中点，所以OF垂直于EC，所以无论B点如何变动，角OFC总为直角，这样，F的轨迹为圆，CO为此圆直径，如上图。当AF与此圆O’相切时，角A最大，如下图。FO’垂直于AF,且AO’=3FO’,所以cos(FO’A)=1/3。因为F、O’为CE,CO中点，所以FO’平行于EO,所以角FO’C=角EOA，即圆规的张角。这样，想让圆规旋转点最高，要使张角为arccos(1/3)。两块平行的导电平板，面积均为S，两者内壁相距匕，它们由一个导电弹簧连接，该弹簧的松弛长度为匕，劲度系数为k，整个系统是电中性的。最初弹簧处于松弛状态，且L远小于平板尺度。现将此系统置于一方向和导电平板垂直0的均匀电场E0中，则两板之间的平衡距离为L。试求L作为E0，L。，k和S的函数关系。答：因为两块极板被导电弹簧连接，所以两极板等电势，两板间电场强度为0,仅在两块导体外侧存在感应电荷。由于L0远小于平板尺度，导体板可以看作无限大带电平面。由对称性，两极板面电荷密度大小相等，设带正电的极板面电荷密度为c。曲一个直圆柱形高斯面，包围一小块极板外表面，两底平行于极板，底面积为S’。由高斯定理：cS1一顼E•dS'=ES'o:.c=&E另一块极板在此极板处产生场强：E’E'=外界产生的总场强E：此极板受电场力F：F顼2Eg-dSSF=280E02s由胡克定律:所以l为:本题也可以用虚功原理求极板受的电场力。如本题图，以刚性杆的固有长度恰好与栅栏的间隔相等。杆与栅栏保持平行，向前高速运动，同时具有一个向栅栏靠拢的微小横向速度。当杆飞临栅栏所在的平面时，正好对准了一个空档。因洛仑兹收缩效应，它此刻的长度比栅栏间隔略小，竟未受任何阻碍而顺利通过。如果我们变换到杆的静止参考系类去看问题，则发现栅栏的间隔因洛仑兹收缩而变得比钢杆的长度小些，杆还通的过吗？删栏答:如果选v方向为x轴，那么长度收缩只发生在x方向，y方向长度不会发生变化。设在不发生相对论效应时，杆的倾斜方向与速度方向成角0。杆和栅栏在y方向的长度（即高度）均为lsin0，刚好通过。所以，当发生相对论效应是，无论以谁为参照系，无论x方向长度收缩多少，两者在y方向的分量相同，杆均可以顺利通过栅栏间的空间。下面具体分析。假设杆相对于栅栏速度为v，取v方向为x方向，栅栏与x轴夹角为0，栅栏间距1。在栅栏参照系下，观察到一根杆长度为l的杆，以倾角0沿x轴，以速度v通过栅栏。ljlj•FI血舀ljlj•FI血舀l血舀设栅栏两端为a,b;杆两端为a’,b’.在栅栏参照系下，a,a’重合与b,b’重合是同时发生的。一个高度为lsin0的杆通过一个高度lsin0的栅栏，理所当然；从长度角度看，一个长为1的杆通过一个宽为1的栅栏，也是理所当然。这时，可以计算杆的固有长度=l(sin2+y2cos20>l固有长度分量:=lycos0=lsin0可以看出，它与x轴夹角并不是0，而是比0小，设为0淫在杆的参照系下，栅栏的长度也发生了变化，如下:

l'=l:sin2+Bvl\Y2lcos0l= 尤yl'=lsin0栅栏间距变小了，与x轴夹角却变大了，设为02。这样，在杆参照系下，b,b’先重合，a,a’后重合，这两个事件不是同时的，所以它是斜着穿过栅栏的。从y方向看，一个高度为lsin0的杆通过一个高度lsin0的栅栏，理所当然；从长度角度看，虽然栅栏间距比杆小，但杆是斜着穿过的，也是理所当然的。所以，无论从哪个参照系下看此事件，都不违背任何物理规律。10，在基于物理学的杂技表演中，同样密度、半径分别为r和R=2r的两个圆柱，被放置在一个质量为M=6kg的小车上，小圆柱的质量为m=1kg，两圆柱之间以及圆柱与小车之间的静摩擦系数达到足以保证两者之间保持为无滑滚动，在初始状态下，大圆柱的轴线位于小车的中间位置，并且三者相对静止。小车受到一个水平拉力F，方向如图所示，运动过程中两圆柱的轴连线与水平方向成固定中=60°求外力F的大小；要维持这种状态1秒钟，小车至少要多长；中角有等于0度的可能吗？试分析。答：由两个圆柱的体积关系，可得大圆柱的质量为4m。由已知，小车质量M=6m。设小圆柱和大圆柱的角加速度为以，以，两圆柱共同的水平方向线加速度为。，小车的加速度为a2。当两圆柱以及大圆柱与小车均作无滑的无粘滞阻力的滚动时，我们有Ra=a—a和Ra=r以由于R=2r，因此以—2以—一2 3-(1)1 2r大小两圆柱的转动惯量分别为I-4R2/2=8mr2和I-mr2/2。受力分析如图。有如下动力学方程：平动方程：对小车：F-F-6ma,(2)对大圆柱竖直方向：4mg+N-N-0,(3)对大圆柱水平方向F-N2-4ma1,(4)对小圆柱竖直方向：N-mg,(5)对大圆柱水平方向：N-ma,(6)转动方程：Nrcos中一Nrsin中-I以,(7)FR+NRsin中一NRcos中-I以(8)f^r 2 1 22.由(4)，(6)F—ma+4ma—5ma(9)由(5)，(6)，(7)，(8)，(9)：. mr2amgrcos甲一Nmarsin甲-— ,(10)10mar+2marsin甲一2mgrcos甲-4mr2a(11)两式相除，又由（1）,可解出:_gcos_g

a 11+sin中2+]3把此结果代回(10)，可解出：a广(12+ZX=Wfe把以上两结果代回（1），可解出:3g3gcos3ga= = _2 1+sin甲(2+\.3),把以上结果和式（9）代回（2），可解出:23gF=23mgcos23g1+sin甲(2+%3)由已知，初始时圆柱位于小车中点，要维持一秒，则小车长l满足:l、1,2-2(a—a)t2TOC\o"1-5"\h\z2gcos中 2gl> = =1+sin中 2+、3若中=0，则:9 2ga1=g,a2=2g,a1=一；F=23mg,N=N=mg;F=5mg,N=5mg;一切加速度，角加速度，力都是有意义的，所以可以实现中=0。因为题中给出条件，接触表面绝对粗糙，保证无相对滑动，所以无须考虑摩擦力与正压力的关系。如果考虑到实际情况，想达到中=0时的平衡，必须要使静摩擦系数R大于1。

弟_试1:设粒子在一无穷深势阱中运动，势能为V—'8,当工<0,工>a时

0,当0<x<a时求粒子的能级和波函数；处于第〃个能级的粒子，求其位置平均值的和涨落；求出经典力学下的X和;(x*)2；并与(2)中的结果比较；计算粒子处在区间［0,1a］内的量子概率和经典概率，比较其结果;2若在t=0时，粒子处在状态求位置［X；和动量:；p随时间的演化。下面给出了氢原子电子在n=2,l=1状态下的波函数(n为主量子数，l为角量子数，m为磁量子数)。表达式为求坐标下的表达式。中(r,0,。)—Y(0,。)R(r)TOC\o"1-5"\h\zl,m n,ll=1,m=0:Y(0,。)-：3cos(0)1,0 \：4兀l=1,m—±1:Y(0,。)- sin(0)e土海1,±1 y18兀n—2,l—1:R(r)—1(1)3/2(r)e一京\o"CurrentDocument"2,1 顼32a aa1—0.053(nm)请定性描述这种状态下的各种可能电子云形状，并通过一些简单的计算支持你的观点。(答题字数：500以上，前五问要给出尽量详细的计算过程)加a2w加a2w2mdx2工aw+Vw=ih—0 at把波函数方程的解写为中3,t)=W(x)T(t)=W(x)e-iEt/h求解定态的薛定谔方程h2[-——V2+V(x)将=Ew2m对于势阱内部V=0，方程转化为h2d2W 八 +Ew=02mdx2求解此微分方程有W=Asin(kx+8)考虑边界条件，波函数在x=0,a处为零，即得常数8=0，且有量子化条件于是定态的波函数解为nnxW(x)=Asin n2h2E= ,n=1,2...n 8ma2作归一化处理a=vz/a粒子波函数为n兀x -W(x,t)=w'2/asin e-e*/h,0<x<an=1,2,...,(2)对于第n能级，位置平均值和涨落(x)=jw-x・W*dx=a/20：(x：-x)2；=jW-(x-a)2・W*dx=七(1-—^)2n12 n2兀20(3)在经典力学下，粒子在陷阱中任一处都是等概率的即尸=1/a，所以=jP-xdx=a/20；(；x；-x)2；，=jP-(x—^)2dx=告」 JL」

可以看到，由量子力学解出的位置平均值和经典力学下的结果是一样的，这是由对称性决定的。而量子力学解出的涨落在取nT8的极限就是经典力学下的解，可见经典力学下的解不过是量子力学在取量子数趋向于无穷大的极限，这一点对位置平均值也是适用的。这恰好反映了波尔的对应原理。由对称性，其结果显然都为1/2。对于W=2V1-?W°，它并不是一个新的状态。若粒子的波函数满足以上等式，我们能肯定的只是粒子在任一时刻要么处在v］，要么处在寸0，且二者必居其一。这实际上是粒子在不同能级间跃迁时所处的状态。考虑波函数的时间部分平=2中广冷中。..kL/1.“2m.…新.“nx=*2/a(―sine一电〃力-——sin—e一电〃力)2a 2a据此求解粒子位移和速度与时间的关系0=f中-x・W*dx02f

=x-a0=A+Bcos(①t).lsin2^2nx+3sin2坚一四sin2^sinnX(ei(鸟-2f

=x-a0=A+Bcos(①t)[4a4a4aa )其中A，B为常数，3=(E2-E1)/方。=fW*・(-i方?W)dx0-i2方f,1.2=fW*・(-i方?W)dx0-i2方f,1.2nxsin eiE2t/力-a*.nx 12兀 2m 据兀 nx——sin—eiEt/力)( cos e-iE2t/力一 cos—e-iEt/力)dx2a2aa 2aaa20-i2方Ln .4m. 3兀.2m .m 2m j(E —E汇.2m m -i(E—E汇{-sin +sin sin—cos exp——1 J-sin cos—exp 1 2—JJdxa 4a a 8a aaa 方 aa 方=iC+iDexp[^-1^^-J+iFexp[―^4^)-J方 方=i(C+Dcos①t+Fcos①t)+(F-D)sin①t其中C,D,F为常数。取实部，可见其动量平均值亦符合简谐振子的运动形式，（6）根据计算可以得到p能态电子云应该是绕z轴旋转对称的，经计算，m=0的电子云主要分布在z轴附近，形状类似于一个哑铃，m=1或m=-1的电子云分布在xy平面，形状如同中间薄边缘厚的饼或面包圈。注：对应原理。波尔