微积分早期复习注意修改时间

B期末试题（200519日）（411

n n广义积分0

sin

（sgnx

当x当x2 2

当x叙述一致连续的定义：若00xtI(|xt||f(xf(t|f(xI 若级数axn，bxnRRRR，则

b)xnn

收敛半径为AA.R1

R2

R1R2

若级数un绝对收敛，且 un0，limn1，则级数vn的敛散情况是[A

n

A.绝对收敛；B.条件收敛；C.可能绝对收敛也可能条件收敛；D.xf(x在区间[abF(x)x

f(t)dt在区间[ab满足[C 4)．下列陈述中，与“数列xn不收敛于a”等价的是[D]nA.0nnC.0n

|xna|；|xna|；

例)（5分/小题321)．若0p N nN都有|xnpxn|，则数列xn收敛1nn1nk错误xnkk

|xnpxn|n1

n0pNp1nN|

x|

n n若正项级数unn

1nn

错误。例如级 2

收敛，但

n1

函数项级数ln(1nln2n)在区间[a,a 正确x[aa],ln(1nln2n)ln(1nln2nln(1nln2f(x在区间[ab可积，则函数|f(x|在区间[ab正确[xk1xk上，函数|f(x|f(x在此4（10分）

f

为周期，在区间[an(n0,1,)bn(n

f(xFourierf(xc（c是常数）Fourier解a

f(x)cosnxdx，

f(x)sinnxdx f(xcFourieran,bna

f c)cosnxdx，

f c)sin a

f(t)cos c)dt。因为f(t),cos c)都以 所 a f(t)cosn(tc)dt f(t)(cosntcos sinntsin ancosncbnsin 同 bnbncosncansin 5（12分6分（42分 已知级数u2nu2n1都收敛，能否断定级数un

能。因为级数u2nu2n1都收敛，所以级数(u2n1u2n)收敛，且limun0

级数un的部分和数列为Sn。因为(u2n1u2n收敛，所以limS2n

limun0，所以limS2n1存在且limS2n1limS2n，所以limSn存在，级数un

已知级数un收敛，能否断定级数u2nu2n1n不能n

x2m6（10分设a1a2 an，讨论广义积分

|x

||x

|x

dx an性，其中m解a

x2m

dxn2m1时收敛，当n2m1时发散。n|xa1||xa2 |xan

an

x2mnan0[anan10，广义积分an

|xa1||xa2 |xan x2m

|xa||x

|x

dx发散 x2m

anan0|x

||xa |x

没有奇点| x2m0|x

||x

|x

dxa

x2m

an

dx收敛 n|xa1||xa2 |xan x2man0且n2m1

|x

||x

|x

dx an他情形发散 7（12分．求级数n(n11nn1nn(n

1，所以收敛半径R 在端点上，n(n1)收敛 n(n1)收敛 所以收敛域为[11

1S

当xn(n1)S(x)，则

当x n当x(1,1)时，S'(x) xnn1

S'(0)0S"(x)xn1

1。1xS'(x)0S"(t)dtln(1x)x S(x0S'(t)dt0ln(1t)dt1xln(1xx 1xln(1x)

当x原式

当x

2ln2原式

当x

8（8分二选一

当x设不是的整数倍，证明数列{sin(n证 因为k,所以sin0,cos假设数列{sinnlimsinnlim(sinncoscosnsin)

则limsin(n1)所以数列{cosn

AcosBsin

再将cos(n1)cosncossinnsin

BcosAsinB,即AsinB(1cos(1)sin(2)(1cos):0B(sin2(1cos)2)2B(1cos

B

代入

A(1cos)

A在恒等式sin2ncos2n1两边取极限：A2B21,01,b b设n

（n=1，2，…证明由递推易知，

1，

。设数列{b}收敛，则lim

1。因为lim

lim

1，所以级数a an n

n

n

nbb

n1敛散。故我们只要证明

anan

n1nnbnnn

(b

b)b

blimbnbn bn

k1

knkn

n

lim

存在，所以lim

存在，即级数

an收敛，从而

an收敛

收敛。因为b1an