中等数学2008奥林匹克问题

数数 问初 试求出所有的整数n,使20n22003n2

ax2+ax+a+20060的两个根均为整数,且两根之差的绝对值不小于2k-1.:ax2+ax+a20060的两个整数根为x1x2.则(广州大学数学与信息科学 ax2+ax+a+2006= 院 故a= 2 = 2006(t∈N)初 如图1 x12+x1+ t2+t+⊙OABCD内,ABCDO的切线

反之,若a= 2t2+t+数),

(t为任意整A1B1C1D1.若AA1=3, 4CC15DD1的长(白郭璋市东方德才学,100026)高221 已知abc是满足abc=1的正数.求证: + + ≤1.

2006(x2+x+1)+2006=0t2+t+ -x2-x-1+t2+t+1=(x-t)(x+t+1)=x=tx=-t-12a2+2b2+

b2+2c2+

c2+2a2+ a=

t2+t1t为任意整数(宋庆南昌大学附中高 如图2,ABC的内角平分,∠ADC=60°AD,满足DMDB,射线BM、CMACABEF证明DF(黄全福 安徽省怀宁县江镇中学,

注意到函数y=t2+t+1的值是正整数(因为变量t为整数)且对称轴为直线1t=-2,a= 2006(t=0,1,⋯)t2+t+2k-1t-(-t-1)≥2k-1即t≥k-t=k-1k,,a初 设k是一个给定的正整数.

a=-2t2+t+

(t=k-1,k,⋯)求出所有的实数a,使得关于x的一元二 (广州大学数学与信息科学初 如3,D是△ABC

即nABAM-AE)=mACAF-AN= BC上的点,DCm,PADn意一点,AP点作⊙O1、⊙O2

(江苏省新沂市启明中学,219设an}dd0的正项等差数列,n∈N+.求证:1⊙O与ABAC 1+

+1≥

an+

-1

MN⊙O2ABACEFMENF均不重合求证

:n1=1 证明:如图3,过BMP三点作圆, 右边=

a+ 2-1 -1 APQ,BK∥AC,AP的延长线于点K,联结BQMPPN.则

,n1,原不等式成立n1,an+1>an10,n2nBQK∠BMP=∠PNA∠BKQ=∠PAN

an-1an+

an-1+an+2

=a2

n+1

an-1从而,BK=QK, an+a a1

+

+anana2a·na2a·an+ >BK=DK=

=m

=

an+1=n(an+1)1从而,BK=mAC

an+又DK=mAD又n

aa 1+a2 aa

=a1+d+a2+d+⋯+an+ =1+ +1 +⋯+1 AM·AB+mACAN=APAD+mAD

=n+da1+a2+ ⋯

则n+d

+ a a同理,nAE·AB+mAF·AC=(m+n) M

·AB+1+

+即+ >⋯>⋯

=n

anan+-1

EFRG四点共圆=因此,n1,原不等式成立综上可知,当n∈N+时,原不等式成立n1,等号成立(省明光市涧溪中学,2204OPOPAPB,AB,再从点PCDEFCFDE交于点G.求证:A、GB三点共线.GOPGO于点MN,联结AGPO.易知∠PGE>∠PDE=GN上取一点R联结FR=∠PGE,AR

故∠PAG=∠PRA. 联结DR并延长交⊙O于点K,联结∠FGN=∠CDK=KM=FN,KM=FN=又∠FRN∠FED∠FCD∠KRM,因