2023年北师大版八年级下《第1章 三角形的证明》单元测试（2）（附答案）

试卷第=page55页，总=sectionpages99页试卷第=page44页，总=sectionpages99页2023年北师大版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试（2）一.选择题)

1.用反证法证明“△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠A>60A.∠A=60∘ B.∠A<60∘ C.∠A≠60∘ D.∠A≤60

2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=54∘，CD是斜边AB上的中线，则∠ACDA.18∘ B.36∘ C.54∘ D.72∘

3.如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=3，∠B=30∘，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(

)A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

4.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≅△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(

)

A.△BPQ是等边三角形 B.△PCQ是直角三角形

C.∠APB=150∘ D.∠APC=135∘

5.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得到边长为4的正六边形．则原来的纸条宽为(

)

A.2 B.22 C.23 D.4

6.在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60∘的三角形是等边三角形；④一个角为60∘的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有(

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.有下列两个命题：①若两个角是对顶角，则这两个角相等；②若一个三角形的两个内角分别为30∘和60A.命题①正确，命题②不正确 B.命题①、②都正确

C.命题①不正确，命题②正确 D.命题①、②都不正确

8.如图，已知∠AOB=60∘，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=(

)

A.3 B.4 C.5 D.6二.填空题)

9.如图，扇形AOB中，OA=3，∠AOB=60∘，点C是AB上的一个定点（不与A，B重合），点D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE周长的最小值为________.

10.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120∘，则CD的最大值是________．

11.对于边长为4的等边三角形ABC，建立如图坐标系，则顶点A的坐标为________．

12.在△ABC中AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是________(只要写出一个即可).三.解答题)

13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A＝30（1）尺规作图：作∠B的平分线BD交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若DC＝2，求AC的长．

14.有一块四边形草地ABCD(如图)，测得AB=AD=10m，CD=26m，BC=24m，∠A=60∘.

(1)求∠ABC的度数；(2)求四边形草地ABCD的面积(结果保留根号).

15.如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD，求证：△BDE为等腰三角形．

16.如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，连接AD.已知∠B=60∘，∠C=30∘，求证：△ABD

参考答案与试题解析2023年北师大版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试（2）一.选择题1.【答案】D【考点】反证法【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A>60【解答】解：∠A与60∘的大小关系有∠A>60∘，∠A=60∘，∠A<60∘三种情况，因而∠A>60∘的反面是∠A≤2.【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】根据三角形的内角和得到∠A=36∘，由CD是斜边AB上的中线，得到【解答】解：∵∠ACB=90∘，∠B=54∘，

∴∠A=36∘，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD，

∴3.【答案】D【考点】三角形三边关系含30度角的直角三角形【解析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【解答】解：根据三角形三边关系，可知AP的长不可小于3，不可大于AB，

∵△ABC中，∠C=90∘，AC=3，∠B=30∘，

∴AB=6，

∴AP的长不能大于6．4.【答案】D【考点】全等三角形的性质勾股定理的逆定理等边三角形的性质与判定【解析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60∘，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60∘，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60∘，∠PQC=90∘，即可判断【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60∘，

∵△BQC≅△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60∘，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=BP=4，

∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90∘，即△PQC是直角三角形，

∵△BPQ是等边三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=60∘，

∴5.【答案】C【考点】等边三角形的性质【解析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为4的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解答】解：边长为4的正六边形由6个边长为4的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，

所以原来的纸带宽度=32×4=23.6.【答案】D【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三角形的判定判断即可．【解答】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，

结论①正确；

②根据判定定理可得△ABC为等边三角形，

结论②正确；

③一个三角形中有两个角都是60∘时，

根据三角形内角和定理可得第三个角也是60∘，

那么这个三角形的三个角都相等，

根据判定定理可得△ABC为等边三角形，

结论③正确；

④根据判定定理可得△ABC为等边三角形，

结论④正确．

故选7.【答案】B【考点】命题与定理直角三角形的性质对顶角【解析】根据对顶角的性质和直角三角形的判定来判断所给选项是否正确即可．【解答】解：根据对顶角相等可判断①正确；

利用三角形的内角和可得到三角形的第三个角为90∘，那么这个三角形是直角三角形，故②正确.

故选B8.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质含30度角的直角三角形【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD−MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，垂足为D，

∵∠AOB=60∘，

∴∠OPD=30∘,

∴OD=12OP=6.

∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，

∴MD=ND=12MN=1二.填空题9.【答案】3【考点】勾股定理轴对称——最短路线问题含30度角的直角三角形【解析】

【解答】解：以O为圆心，OA为半径作扇形AOC，

作扇形AOC关于OA的轴对称图形AOC1，连接C1O，

作扇形BOC关于OB的轴对称图形BOC2，连接C2E，

则

C1D=CD，C2E=CE，

则△CDE周长

=CD+DE+CE=C1D+DE+C2E，

则C1D+DE+C2E的最小值为线段C1C2的长，

∵∠AOB=60∘，

∴∠C1OC2=10.【答案】14【考点】等边三角形的性质与判定轴对称的性质线段的性质：两点之间线段最短【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．

∵∠CMD=120∘，

∴∠AMC+∠DMB=60∘，

∴∠CMA′+∠DMB′=60∘，

∴∠A′MB′=60∘，

∵MA′=MB11.【答案】(2, 2【考点】勾股定理等边三角形的性质坐标与图形性质【解析】过A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴BH=12BC=2，

∴AH=42−22=2312.【答案】AB=BC或AC=BC【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三角形的三条边都相等、三个内角都相等的性质来填空．【解答】解：本题答案不唯一，例如：BC=AB、∠BAC=60∘等．

下面以BC=AB为结论进行推理．

∴AB=AC，AB=BC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC为等边三角形.

故答案为：AB=BC或AC=BC三.解答题13.【答案】（1）如图射线BD即为所求；

（2）∵∠C=90∘,∠A=30∘,

∴ABC=60∘,

∵BD平分∠ABC，

∴∠A=∠ABD=∠DBC=30∘，【考点】作角的平分线含30度角的直角三角形角平分线的性质【解析】（1）利用尺规作出∠ABC的平分线交AC于点D；（2）只要证明BD=AD，求出BD即可解决问题．【解答】（1）如图射线BD即为所求；

（2）∵∠C=90∘,∠A=30∘,

∴ABC=60∘,

∵BD平分∠ABC，

∴∠A=∠ABD=∠DBC=30∘，14.【答案】解：(1)如图，连接BD.

∵AB=AD=10m，∠A=60∘，

∴△ABD是等边三角形.

∴BD=10m，∠ABD=60∘.

在△DBC中，BD=10m，BC=24m，CD=26m，

∵BD2+BC2=102+242=676，C(2)过点A作AE⊥BD，垂足为E.

∵△ABD是等边三角形，AE⊥BD，

∴BE=12BD=5m.

根据勾股定理，得

AE=AB2−BE2=102【考点】等边三角形的性质与判定勾股定理的逆定理三角形的面积等边三角形的性质勾股定理【解析】(1)首先确定△ABD是等边三角形，求出BD=10m，∠ABD=60∘，然后确定△DBC是直角三角形，并求出∠DBC=90(2)过点A作AE⊥BD，垂足为E，分别求△ABD和△DBC的面积，然后求和即可.【解答】解：(1)如图，连接BD.

∵AB=AD=10m，∠A=60∘，

∴△ABD是等边三角形.

∴BD=10m，∠ABD=60∘.

在△DBC中，BD=10m，BC=24m，CD=26m，

∵BD2+BC2=102+242=676，C(2)过点A作AE⊥BD，垂足为E.

∵△ABD是等边三角形，AE⊥BD，

∴BE=12BD=5m.

根据勾股定理，得

AE=AB2−BE2=10215.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

∴∠ACB=60∘，∠CBD=30∘.

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE.

∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60∘，

∴∠E=30∘，

∴∠E=∠CBD，【考点】等边三角形的性质等腰三角形的判定【解析】根据等边三角形的性质可得∠ACB=60∘，∠CBD=30∘，再根据等边对等角的性质求出∠E=∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

∴∠ACB=60∘，∠CBD=30∘.

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE.

∵