广西壮族自治区桂林市恭城中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区桂林市恭城中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．2参考答案：A2.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.3.已知，则对，下列说法中错误的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是A.

若

B.若C.若

D.若参考答案：C略5.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C【分析】先根据复数的四则运算求得z，再利用复数几何意义求解结论.【详解】由，得，则，∴复数在复平面内对应的点为，∴复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是(

)A．或；

B．0；C．0或；

D．0或.参考答案：D7.右图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是

ABCD

正视方向参考答案：A

8.已知是第二象限的角，，则= （

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D9.在等差数列中，已知，则

(

)A．10

B.18

C．20

D．28参考答案：C略10.已知三棱锥A-BCD中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（

）A. B.24π C. D.6π参考答案：C【分析】作出三棱锥A-BCD的外接长方体，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A-BCD的外接长方体，如下图所示：设，，，则，，，上述三个等式相加得，所以，该长方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，因此，此球的体积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中，

则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为

．参考答案：2

略12.已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则ａ、ｂ在上的射影有可能是：①两条平行直线

②两条互相垂直的直线③同一条直线

④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）参考答案：①②④

13.已知函数(a，b为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a，b应满足的条件__________。参考答案：14.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

．参考答案：②③【考点】直线与圆锥曲线的关系；命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【解答】解：①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为②③．【点评】正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．15.已知抛物线的焦点到准线的距离为，且上的两点关于直线对称，并且，那么_______参考答案：略16.若实数x，y满足x2+2cosy=1．则x﹣cosy的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1+]．17.命题“，”的否定是__________．参考答案：，解：特称命题变否定时，“”需改成“”．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且，等比数列{bn}中，其前n项和为Tn，且，（n∈N*）（1）求an，bn；（2）求{anbn}的前n项和Mn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）法1：利用等差数列的前3项求出公差与首项，再利用通项公式即可得出．法2：利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．（2）法1：利用分组求和即可得出．法2：利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）法1：由，a1=1…又，所以a2=3或﹣1因为a2=﹣1时，=1，故a2=﹣1舍去…所以等差数列{an）的公差d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1，…同样可得b1=1，b2=3或﹣1因为b2=3时，，故b2=3舍去又{bn}为等比数列，所以…法2：，a1=1…1分，，（n≥2）（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）﹣2（an+an﹣1）=0…（an﹣an﹣1﹣2）（an+an﹣1）=0，因为{an}为等差数列，所以an﹣an﹣1﹣2=0，又a1=1∴an=2n﹣1，…又{bn}为等比数列，所以易得…（2）法一：Mn=a1?b1+a2?b2+…+an?bn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）若n为偶数，则Mn=所以Mn=﹣n…若n为奇数，则结合上边情况可得Mn=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n综上可得Mn=（﹣1）n﹣1?n…法二：Mn=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…①﹣Mn=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n﹣1）×（﹣1）n…②①﹣②得：2Mn=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n﹣﹣2Mn=Mn=n×（﹣1）n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．参考答案：（Ⅰ）解：依题意，得

………………2分解得，．

………………3分所以椭圆的方程为．

………………4分（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．

………………6分

设，．所以

………………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则．………………10分因为，所以，

………………13分从而．

………………14分证法二：记△的面积是，△的面积是．则线段的中点重合．

………………10分因为，所以，．故线段的中点为．

因为，，所以线段的中点坐标亦为．

………………13分从而．

………………14分20.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.参考答案：（1）的定义域为，当且仅当时，，所以在单调递增.（2），由（1）知，单调递增，对任意，，，因此，存在唯一，使得，即，当时，，单调递减；当时，，，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为.于是，由，知单调递增所以，由，得.因为单调递增，对任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，综上，当时，有最小值，的值域是.21.（10分）已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是是参数）．（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的取值范围，使得，没有公共点．参考答案：22.已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若函数与有相同极值点，（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）若对于，不

等

式

恒

成

立，求

实

数

的

取值

范围．

参考答案：解：（Ⅰ）（）， 1分由得，；由得，.∴在上为增函数，在上为减函数． 3分∴函数的最大值为． 4分（Ⅱ）∵，∴．（ⅰ）由（Ⅰ）知，