原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第四章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示配套课件

第2讲平面向量基本定理及坐标表示课标要求考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件从近几年的高考试题看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目1.平面向量基本定理

如果e1，e2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1

－x2

，y1－y2)，λa＝________________(λ∈R)，|a|＝

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

(λx1，λy1)3.共线向量及其坐标表示(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线.题组一走出误区1.(多选题)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对平面内的任一向量a，下列结论中错误的是()

A.存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2

C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O

D.若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)解析：由平面向量基本定理，可知A中结论正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，则1＝1，0≠3，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D中结论错误.故选BCD.答案：BCD题组二走进教材2.(必修4P97

例4改编)(2014年北京)已知向量a＝(2，4)，)b＝(－1，1)，则2a－b＝( A.(5，7) C.(3，7)B.(5，9)D.(3，9)

解析：因为2a＝(4，8)，所以2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)，故选A.

答案：A3.(必修4P101A组第5题改编)(2020年四川内江模拟)下列)各组向量中，可以作为基底的是( A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)解析：A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底.故选B.答案：B题组三真题展现

4.(2017年山东)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝____________.

解析：由

a∥b，得

2λ＝－6，λ＝－3.

答案：－35.(2020年全国Ⅰ)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝________.解析：由a⊥b可得a·b＝0，又因为a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，所以a·b＝1·(m＋1)＋(－1)·(2m－4)＝0，即m＝5.答案：5考点1平面向量基本定理的应用自主练习答案：B

2.(2019年河北衡水调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若

()A.－12B.1C.32D.－3

答案：A图4-2-1A.19B.13C.1D.3答案：A

【题后反思】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考点2平面向量的坐标运算师生互动A.(－7，－4)C.(－1，4)B.(7，4)D.(1，4)

－4).故选A.

答案：A

(2)(2015年江苏)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__________.

解析：由题意，得2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5. ∴m－n＝－3.

答案：－3(3)(多选题)已知

a＝(1，0)，|b|＝1，c＝(0，－1)，满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值可能为()

解析：由题意可得kb＝－3a－7c＝－3×(1，0)－7×(0，－1)＝(－3，7)，

故选AB.

答案：AB(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值.【考法全练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；→→→考点3向量共线的坐标表示多维探究A.－23B.43C.12D.13答案：A2a＋b＝(4，2)，c∥(2a＋b)⇒4λ＝2，∴λ＝.

(2)(2018年全国Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：12答案：12(3)已知向量a＝(－1，1),b＝(3，m),a∥(a＋b)，则m＝()A.2B.－2C.－3D.3

解析：向量a＝(－1，1)，b＝(3，m)，a＋b＝(2，m＋1)，∵a∥(a＋b)，∴－(m＋1)＝2，m＝－3.

答案：C

【题后反思】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等，其实质为平面向量基本定理的应用.向量共线的充要条件的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.向量垂直的充要条件的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【考法全练】(多选题)已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(1，2)，则下列命题正确的是()A.若a∥b，则tanα＝12B.若a⊥b，则tanα＝12C.若f(α)＝a·b取得最大值，则tanα＝12D.|a－b|的最大值为

＋1解析：若a∥b，则2sinα－cosα＝0，

(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－2(sinα＋2cosα)故选ACD.答案：ACD⊙利用方程的思想求解平面向量问题[例3]在△ABC中，已知AM∶AB＝1∶3，AN∶AC＝1∶

【策略指导】(1)学生的易错点：找不到问题的切入口，即想不到利用待定系数法求解. (2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题很多学生易忽视M，P，C共线和B，P，N共线这两个几何特征.【高分训练】

(2019年江苏启东模拟)如图

4-2-2，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.图4-2-2∴由①②得两个充要条件：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.(2)设向量a，b，其中b≠0，则a与b共线的充要条件是有且只有唯一的实数λ，使得a＝λb.三个运算：设a＝(x