原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第八章 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系配套课件

第3讲

点、直线、平面之间的位置关系课标要求考情分析1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定平面的基本性质是研究立体几何的基础，是高考主要考点之一，考查内容有以平面基本性质、推论为基础的共线、共面问题，也有以平行、异面为主的两直线的位置关系，求异面直线所成的角是本节的重点项目公理1公理2公理3公理4图形语言

1.空间中点、直线、平面之间位置关系的基本性质(即四条公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表)及推论项目公理1公理2公理3公理4文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言

A，B，C不共线⇒A，B，C确定平面α(续表)推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面等角定理空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两直线的位置关系共面直线平行一个交点相交没有交点异面直线没有交点直线与平面的位置关系平行没有交点相交一个交点在平面内无数个交点两平面的位置关系平行没有交点相交无数个交点2.空间线、面之间的位置关系3.异面直线所成的角锐角或直角(0°，90°]

过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的_______________，叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，其范围是______________.题组一走出误区1.(多选题)设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则(

)A.在α内存在直线与直线AB异面B.在α内存在直线与直线AB相交C.在α内存在直线与直线AB平行D.存在过直线AB的平面与α垂直解析：A，B是不在α内的任意两点，则直线AB与平面α相交或平行.如果直线AB与平面α相交，则α内不过交点的直线与直线AB异面，但没有直线与直线AB平行，

如果直线AB与平面α平行，则在α内存在直线b与直线AB平行，而在α内与b相交的直线与直线AB异面，但α内不存在直线与直线AB相交，由上知A正确，BC均错误；

不论直线AB与平面α是平行还是相交，过A作平面α的垂线，则这条垂线与直线AB所在平面与α垂直，(如果垂线与AB重合，则过AB的任意平面都与α垂直)，D正确.故选AD.答案：AD题组二走进教材

2.(必修2P52B组第2题改编)如图8­3­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)图8-3-1A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.答案：C3.(必修2P59例3改编)(2020年江西一模)用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是( A.正三角形 C.正五边形

)B.正方形D.正六边形解析：答案：C由面面平行的性质定理可知选C.题组三真题展现

4.(2016年山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：直线a与直线b相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能平行或异面.故选A.

答案：A

5.(2019年上海)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直C.两两相交B.两两平行D.两两异面解析：如图D64(1)，可得a，b，c可能两两垂直；如图D64(2)，可得a，b，c可能两两相交；如图D64(3)，可得a，b，c可能两两异面；故选B.(1)(2)(3)

图D64答案：B考点1平面的基本性质自主练习1.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线.上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；a⊂平面α，b⊂平面β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误.故填②③④.答案：②③④2.(2018年福建厦门模拟)下列四个命题中，真命题的个数为()

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：过不共线的三点有且只有一个平面，因此①正确；若两直线异面则不能确定一个平面，因此②不正确；正方体中一个顶点引出的三条棱，不在同一平面内，因此③不正确；由公理可知④正确，故选B.答案：B3.下列推断中，错误的是()

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案：C

【题后反思】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作l

α，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理1是判断直线在平面内的依据；公理2的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理3是证明三(多)点共线或三线共点的依据.考点2三点共线、三线共点的证明师生互动

[例1]如图8-3-2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.

图8-3-2证明：(1)如图8-3-3，连接EF，CD1，A1B.图8-3-3∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面.∴CE与D1F必相交.设交点为点P，如图8­3­3，则由点P∈CE，CE⊂平面ABCD，得点P∈平面ABCD.同理点P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴点P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.

【考法全练】

1.如图8-3-4，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C

l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()图8-3-4A.点AC.点C但不过点MB.点B

D.点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.故选D.答案：D

2.如图8-3-5所示，ABCD-A1B1C1D1

是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1

于点M，则下列结论正确的是()图8-3-5A.A，M，O三点共线C.A，M，C，O不共面B.A，M，O，A1不共面D.B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，答案：A∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A，M，O三点共线.考点3空间内两直线的位置关系多维探究考向1两直线位置关系的判定[例2](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交C.平行B.异面D.垂直

解析：如图8-3-6所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.

图8-3-6答案：A其中正确的结论为________.图8-3-7(2)如图8­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.

解析：∵点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，答案：③④直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，∴AM与CC1是异面直线.故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交.故②错；∵点B1与BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，∴BN与MB1是异面直线.故③正确；同理④正确，故填③④.

(3)(2019年全国Ⅲ)如图8-3-8，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，点M是线段ED的中点，则()

图8-3-8A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

解析：如图8-3-9所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F，连BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，图8-3-9∴△MFB与△EON均为直角三角形.答案：B

【题后反思】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用公理4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；②在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.【考法全练】

1.下列如图8-3-10所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填所有满足条件图形的序号，下题同).图8-3-10

解析：易知①③中PS∥QR，所以四点共面.在②中构造如图D65所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面.在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观察知点S在平面α外，因此四点不共面.综上知，故填①②③.图D65答案：①②③

2.如图8-3-11，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH，MN是异面直线的图形有________.图8-3-11

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M

平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H

平面GMN，因此GH与MN异面.答案：②④考向2异面直线所成的角[例3](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点.①AC与D1D所成的角为__________________；②AC与C1D所成的角为__________________；③BD1

与CE所成角的余弦值为____________.解析：根据题意作图，如图8-3-12，①D1D∥A1A，A1A⊥AC，所以AC⊥D1D，即AC与DD1成90°角；图8-3-12②AC∥A1C1，AC与C1D所成的角为∠A1C1D，而△A1C1D为等边三角形，所以∠A1C1D＝60°，所以AC，与C1D成60°角；答案：①90°②60°解析：如图8-3-13，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，平面CB1D1∩平面ABB1A1＝n′图8-3-13∵α∥平面CB1D1，∴m∥m′，n∥n′.答案：A

(3)(2015年浙江)如图8-3-14，三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.图8-3-14

解析：如图8-3-15，连接DN，取DN中点P，连接PM，PC，

则可知∠PMC为异面直线AN，CM所成的图8-3-15

【题后反思】(1)求异面直线所成的角的常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择端点、中点、等分点，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.

【考法全练】

3.(2020年江西一模)在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB

解析：如图D66，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分

取AB的中点G，连接GE，GF.

因为G，F分别是AB，BC的中点，图D66答案：B

4.如图8­3­16，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.则BD1与C1N所成角的余弦值为________.图8-3-16

解析：如图D67所示，将长方体ABCD­A1B1C1D1平移到BCFE­B1