原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第八章 第6讲 空间坐标系与空间向量配套课件

第6讲

空间坐标系与空间向量课标要求考情分析1.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.4.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.5.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.6.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.7.理解直线的方向向量与平面的法向量.8.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系能较易建立空间直角坐标系的，尽量建立空间直角坐标系；要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合3.空间向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空间向量的坐标运算(λx1，λy1，λz1)题组一走出误区1.(多选题)下列结论中正确的是()

A.空间中任意两个非零向量a，b共面 B.对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c＝0 D.若a·b<0，则a，b是钝角答案：AC题组二走进教材2.(选修2－1P104第2题改编)若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A.l∥α或l⊂αC.l⊂α

B.l⊥αD.l与α斜交解析：∵a·u＝2×1＋5×1＋(－1)×7＝0，∴l∥α或l⊂α.答案：A3.(选修2－1P104第1题改编)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是()

解析：ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，∵两向量垂直，∴3(k－1)＋答案：D题组三真题展现

4.(2017年全国Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()

解析：方法一，以B为原点，建立如图D77(1)所示的空间直角坐标系.(1)(2)

图D77则B(0,0,0)，B1(0,0,1)，C1(1,0,1).答案：C解析：方法一，如图D78(1)，(1)(2)图D78

方法二，如图D78(2)，

分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.故选C.答案：C考点1空间向量的线性运算自主练习A.1个B.2个C.3个D.4个图8-6-1答案：D图8-6-2图8-6-3答案：A图D79答案：ABC

【题后反思】(1)选定空间不共面的三个向量为一组基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)向量的线性运算有一个常用的结论：如果B是线段AC算.考点2空间向量的数量积运算师生互动

图8-6-4图8-6-5答案：ACDA.－2C.2B.0D.4解析：由球O的半径为2，A，B是球面上的两点，答案：ABCD【题后反思】利用数量积解决问题的两条途径：(1)根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；(2)利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；【考法全练】(多选题)已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体.则下列结论正确的是()图D80答案：ABC考点3异面直线所成的角多维探究

[例2](1)如图8-6-6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1

和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()图8-6-6图8-6-7答案：D

(2)如图8-6-8所示，在空间四边形O-ABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC的夹角的余弦值为__________.图8-6-8

【题后反思】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.(2)由两个向量的数量积定义，得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小.在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值.【考法全练】

如图8­6­9，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点，若异面直线AD1

与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置.图8-6-9图D81

⊙向量夹角不明致误

[例3](1)如图8-6-10，在二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于图8-6-10答案：A

(2)如图8-6-11，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2

cm，则这个二面角的度数为________.图8-6-11答案：60°【策略指导】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量夹此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.

【高分训练】

如图8-6-12，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝交线的垂线的距离分别为DA＝30m，CB＝40m，又已知AB＝20)

m，则甲、乙两人相距(

图8-