师说数学必修第一册教版课件

4.13

幂函数成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习最新课程标准୶1.通过具体实例，结合y＝x，y＝ଵ，y＝x2，y＝

x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．2．了解幂函数．学科核心素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(数学抽象、数学运算)2

3ଵ୶2．结合幂函数y＝x，y＝x

，y＝x

，y＝，భమy＝x

的图象，掌握它们的性质．(直观想象、逻辑推理)

3．能利用幂函数的单调性比较大小．(数学运算)教材要点叫做(α次)要点一 幂函数的概念一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数幂函数．要点二 幂运算的基本不等式௕ೝ௕对任意的正数r和两正数a>b，有௔ೝ＝ሺ௔ሻ௥

>1，即ar＞br.௕ೝ௕对任意的负数r和两正数a>b，有௔ೝ＝ሺ௔ሻ௥<1，即ar<br.y＝xα要点三 幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3భy＝xమy＝ଵ୶定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0，0)，(1，1)(1，1)状元随笔

幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．基础自测限．(

)ଶ(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(

)1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(

×

)(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象×√(3)当幂指数α取1，3，ଵ时，幂函数y＝xα是增函数．(

√

)୶ర2．在函数y＝

ଵ

，y＝3x2

，y＝x2

＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(

)A．0B．1

C．2

D．3答案：B解析：函数y＝

ଵ

＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂௫ర函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B.)3．(多选)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是(A．f(x)的定义域为RB．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

C．f(x)的图象一定经过点(1，1)D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)答案：ABD解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝ଵ的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，௫＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．故选ABD.4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，

3)，则f(9)＝

3

．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，

3)，∴3＝3α，解得α＝ଵ，ଶ∴f(x)＝

𝑥，∴f(9)＝

9＝3.题型探究课堂解透题型1

幂函数的概念例1

(1)(多选)下列函数中是幂函数的是()ଶA．y＝

ଵ

୶

B．y＝x5C.

y＝4x2

D．y＝x(2)已知y＝(m2＋2m－2)

x௠మିଶ＋2n－3是幂函数，求m，n的值．答案：(1)BD(2)见解析解析：A不符合幂函数的特点，C中系数不是1，BD是幂函数．故选BD.由幂函数的定义可知ቊmଶ

+

2m

−

2

=

1，

2n

−

3

=

0，ଶ解得m＝－3或1，n＝ଷ.方法归纳幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．求幂函数解析式的依据及常用方法①依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．②常用方法．设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.A．1

B．－3C．－1

D．3ଽ(2)已知幂函数f(x)的图象经过点

3，

ଵ

，则f(4)＝．跟踪训练1

(1)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(

A

)116解析：(1)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以ቊmଶ

+2m−2=1，所以m＝1.m

൐

0，故选A.ଽ(2)设f(x)＝xα(α为常数)，所以ଵ＝3α，α＝－2，ଵ଺所以f(4)＝4－2＝

ଵ

.题型2

幂函数的图象及应用భ例2

(1)函数y＝xయ的图象是(

B

)(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是

n<q<m<p

．解析：(1)由幂函数的图象过点(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因为y＝xα中，0<α＝ଵ<1，所以图象在第一象限内上凸，排除C，故选B.ଷ(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p.方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则భ依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝xమ或y＝x3)来判断．跟踪训练2 (1)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，ଶ1

2

3ଶA．－2，ଵ，2ଶB．2，ଵ，－2C．－2，2，ଵD．2，－2，ଵଶ

ଶଶ(2)当α∈−1，ଵ

，1，2，3

时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第象限．ଵ三个值，则相应于曲线c

，c

，c

的n值依次为(

B

)四－2

2解析：(1)对于函数y＝x

，y＝x

，y＝భమଵଵ଺x

，令x＝4，得到的函数值依次为

，భ16，2.函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝xమ，y＝x－2.因此相1

2

3ଶ应于曲线c

，c

，c

的n值依次为2，ଵ，－2.故选B.భ(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝xమ的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．ଶ所以幂函数y＝xα

α

=

−1，

ଵ

，1，2，3

的图象不可能经过第四象限．题型3

幂函数的性质及其应用角度1

比较大小例3

把ଷଶ

ିభଷ

ହଶ

ହభ

భమ

，

మ

，଻

଴଺按从小到大的顺序排列：．25ଵ

ଶ൏35య

，ଵ

ଶ൏76଴൏23ିଵଷ଻

଴଺ଶ

ିభ＝1，

య

൐

1，ଷ

ହభమ

൏

1，ଶ

ହభభమ

<1，∵y＝xమ

为增函数，∴ଶ

ହభమ

൏ଷହ解析：భమ.综上，ଶ

ହభమ

൏ଷଷ

ହభమ

൏଻

଴଺൏ଷଶ

ିభయ.角度2

解不等式例4

已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范围．解析：①当a＋1>0，且3－2a>0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，a+

1

൐

0，a+

1

൐

3−

2a，ଷ

ଶ∴ቐ

3−2a

൐

0，

解得ଶ<a<ଷ.②当a＋1<0，且3－2a>0时，(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合题意．可得ቊ

a+1

൏

0，解得a<－1.3

−2a

൐

0，③当a＋1<0且3－2a<0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，a+

1

൏

0，∴ቐ

3−2a

൏

0，

不等式组解集为∅.a+

1

൐

3−

2a，综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪ଶ

，

ଷ

.ଷ

ଶ方法归纳比较幂的大小的策略比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：确定可以利用的幂函数；借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．A.18଼＜19଼B.23଻

଻

ିଶଷ＜π6ିଶଷC.

0.2଴.଺＞0.3଴.଺

D.

9ି଻଼＞89଺଻భ

భ(2)若

3

−2m

మ＞

m

+

1

మ，则实数m的取值范围为．跟踪训练3

(1)下列两个数的大小正确的是(

B

)−1，

23ళଵ

ଵ଼ ଽ解析：(1)∵函数y＝xఴ在(0，＋∞)上单调递增，又

>

，∴ଵ

>

ଵ଼ ଽళ

ళఴమଶଷఴ，A错；∵函数y＝xିయ在(0，＋∞)上为减函数，又

>஠଺，

∴ଶ

ିమయ

<଺஠

ିమయ，B正确；由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6，C错；ళ9ିఴ＝ଷଵ

ଽళఴ

<ଵ

ଽలళ

<଼

ଽలళళ

，

∴

9ିఴ

<଼

ଽలళ，D错．故选B.భ(2)∵函数y＝xమ在定义域[0，＋∞)上是增函数，3

−

2m

>

0，3

−

2m

>

m

+1，ଷ∴ቐ

m+1≥0，

解得－1≤m<ଶ.ଷ故实数m的取值范围为

−1，

ଶ

.易错辨析 忽视幂函数的图象特点致误例5 若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·x௠మା௠ିଵ是幂函数，且其图象过原点，则m＝

－3 ．解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·x௠మା௠ିଵ是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．易错警示易错原因纠错心得忽视了函数图象过原点，没有对所求m值进行检验，致使得到错误答案

0或－3幂函数的图象过原点，则指数大：于0；图象不过原点，则指数小于或等于0.课堂十分钟1．设α∈

1，2，3，

ଵ

，

−

1

，则使函数y＝xα的定义域为R且函数yଶ＝xα为奇函数的所有α的值为(

)A．－1，3C．1，3B．－1，1D．－1，1，3答案：Cభ解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝𝑥మ，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1，3.故选C.ୟ2.

在同一坐标系中，函数f

x

＝ax＋ଵ与g

x

＝ax2的图象可能是(

)答案：A௔解析：因为当a>0时，f(x)＝ax＋ଵ是增函数，与y轴的交点在正半轴上，g(x)＝ax2的开口向上；当a<0时，f