理论力学题库第二章

理论力学题库——第二章123in123in2.质点系动量守恒的条件是。3.质点系机械能守恒的条件是。4.质点系动量矩守恒的条件是。5.质点组对的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的6.质心运动定理的表达式是。7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。8.各质点对质心角动量对时间的微商等于外力对质心的力矩之和。9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。2iiiiiii=1i=1i=1表述为质点组动能的微分等于内力和外力所作的元功之和。11.质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。2Cii i=1动能与各质点对质心动能之和。13.2-6.质点组质心动能的微分等于内、外力在质心系系中的元功之和。14.包含运动电荷的系统，作用力与反作用力不一定在同一条直线上。15.太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为折合质量的行星受太阳(不动)17.设木块的质量为m,被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如2果有一质量为m的子弹以速率v沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为11m+mv=12(2gh)1/218.位力定理(亦称维里定理)可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值。(或2ii11.关于质心，以下说法错误的是()A.均质物体的质心和其几何中心重合；B.处于均匀重力场中的物体，重心和质心重合；C.质点组合外力为零时，质心将静止；D.质心可以在物体的外部。2.质点组运动的总动能的改变()A力无关，内力有关；BD.与外力有关，内力无关。3.满足下列哪种情况，质点组的机械能守恒()A只有保守力做功；B外力和内力都不是保守力；C所有内力均为保守力；D所有外力均为保守力。2-4.如果某质点系所受合外力为零，则该质点系的【A】BA质点系的内力不能改变质点系的动量；B质点系的内力不能改变质点系的动能；C质点系的内力在运动过程中可能作功，可能不作功；D刚体在运动过程中内力不作功。(A)作用力与反作用力的功一定是等值异号；(B)内力不能改变系统的总机械能；(C)摩擦力只能作负功；(D)同一个力作功在不同的参考系中，也不一定相同。【D】2-8.对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是：(A)系统不受外力作用，则动量和机械能必定同时守恒.；(B)对一系统,若外力作功为零,而内力都是保守力,则其机械能守恒；(C)对一系统,若外力作功为零,则动量和机械能必定同时守恒；2-9．一人握有两只哑铃,站在一可无摩擦地转动的水平平台上,开始时两手平握哑铃,2-10.如果某质点系的动能变大，则该质点系的【D】2-11.如果某质点系的动量变大，则该质点系的【D】2-12.如果某质点系所受合外力变大，则该质点系的【D】二、简答2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合(或剜去)而成，你觉得怎样去求它的质心？.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有3n个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。动，但可改变组内质点间的运动。为零(忽略水对船的阻力)，且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能(分子间的结合能)，故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？ciicidt(iii)iiiiiic0iicxF(e)=xiicivii的动量守恒xmv,=iii方便。值得指出：质点组中任一质点相对质心参考系有，对质心参考系动量并不守恒。体内能转换而来的。质量系统运动问题的公式。2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？m答：由v=v+vln0=v+vlnz知，要提高火箭的速度必须提高喷射速度v或增大0rm0rrsm质量比0。由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制，v不能过大；又由mrs于火箭的外壳及各装置的质量m相当大，质量比也很难提高，故采用多级火箭，一级火箭0的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。12n12nr12nr12n级数很多时，质量比逐渐减小趋近于1，速度增加很少。故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问由于物体的抛出，人跳的距等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。3.质量为m的质点，沿倾角为9的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m，又可在光滑水12平面自由滑动。试求质点水平方向的加速度及劈的加速度。4.求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为29，并证半圆片的质心4a离圆心的距离为3"。5.如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。6.半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速o转动，7.一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度a，炮弹对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。解：由于在水平方向(x方向)无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平方向动量守恒xxy)U所以=V1-m(2M+m)cos2a...........(4)(M+m)2如设v与水平面夹角为9，则tan9=vy=Vsina=M+mtana 5)vxM讨论：由(4)式知炮车反冲时v<V，由(5)式知9a有足够的长度，求重物所能达到的最大高度。 023q203q8.在椭圆机构中，规尺AB质量为2m，曲柄OC质量为m,滑块A和B质量均为m曲柄以匀112(1)动量矩=+++=m+(2m+2m)ocABAB1oc12ABtjmlsinti21212212l总动量值的合成:p=p2+p2=(5m+4m)xy2121211212xc(3m+2m)解法2:首先建立整个系统的质心位置12121212yc(3m+2m)llxcxc212lp=my.=cost(5m+4m)yc212l总动量值的合成:p=p2+p2=(5m+4m)xy212tk(1)质点的动能、动量及对坐标原点O的动量矩。(2)质点对点A(a,b,c)的动量矩。(3)作用在质点上的力及力的功率。1mvmxyz22OA的点的坐标。?V?V?x?y解：欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即=0,?x?y?x程组得平衡坐标为x=1,y=212.一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。一01g1p平台动量矩为：G=IO=r2O方向也沿转轴方向。22gpppp12g2g3rd92ds=一dt3rdtd92ds=一dt3rdttdt00tdt313、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为m，人的质量为m。试求t秒钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度v与121。解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面对板的正压力F。以上受Nxx成运动可知，人的绝对速度为v=v+u。11121解此方程得v=x12iij8j8yz|=x…(2)积分(1)式得0=x2+f(y,z)………(4)…(3)2代(4)入(2)得8f(y,z)=y积分得f=y2+g(z)………(5)8y2代(5)入(4)得0=x2+y2+g(z)………(6)22代(6)入(3)得80=8g(z)=z积分得g(z)=z2+c………(7)zz2代(7)入(6)得0=x2+y2+z2+c2222214.质量为m及m的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比，与距离的平方成12反比，比例常数为k，开始时两质点皆处于静止状态，其间距离为a，试求两质点间的距离a2令质量为m自由质点的速度为v，质量为m的自由12v故vv方向相212反，取v方向为正方向如图示1rrv21m1mv两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力由保守力性质得势能为V=jr.d=jrkmm12dr=kmm12式中r是两质点间的距r2ra211222aa211222a211222aa(m+m)a(m+m)12令质量为m自由质点的速度为v，质量为1 2v=ma(m+mm的自由质点速度为v，则因两质点互相吸引，22故vv方向相反，取v方向为正方向如图示121dr211222r2m211222a解(1)(2)式得v=m12m1m由于两质点无外力作用可视为两体问题由两体问题运动方程p12由两体问题运动方程p12=F得dt2dvdvdr又12=12.12dtdrdt1212dv=v1212drkmmr2r1k212积分jv12vdv=j-k(m1+m2)dr得v=2k(m1+m2).........(2)1212ar21212amv+mv由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止，故由v=112解(2)(3)(4)式得v=-m2v为负值表明与v方向相反1221m15.如图示，一长为l的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为p，某人持链条一端以匀速v将其提高，试证：当他的手离开水平面的高度为x时(x<l)，链条对手的作用力lgFccccpl2lcpl2l由于链条的质心坐标为x==xv2clclllx整体所受的外力有重力P=pl，拉力F和水平面对静止的那部分链条的支持力Xdtxdtdtdtx如图示，取已上升部分为主体，其质量为m=px，速度为v，不断增加部分为变体，合ddm由密歇尔斯基方程(mv)一u=F得dtdt合dtdt合2小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角度不超过180°。设初始时系统静止。01圆环动量矩为：G=I=Mr2方向也沿转轴方向。22由动量矩守恒定律得：G+G=mr(u+r)+1Mr2=0有=u122(1+M)r又=d9,u=dsdtdt即d9=1ds(1+)r(1+)rMM(1+)r000(1+)r9=假设小虫和圆环质量相等故9=4=-240°3假设M=2m，则9==1800一般Mm故9<1800另正解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。故质点系动量矩守恒。01IMr12M12Mmd9dsd91ds1dtdtdtMdtMdtdtdtMdtMmmM(1+)rMmm3一般Mm故9<1800撞后的速度互相垂直，试证明之。1由于两球碰撞过程中动量守恒有MV=MV+MV由于两球碰撞过程中动量守恒有MV=MV+MV.......(1)212122 (1)式代入(2)式有(V,+V,)2=V,2+V,2121212直即V,」V,结论得证v1的速度，其方向沿此直线，设m1、m3及v1为已知，求第二球的速度为何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：设第一、第二球碰撞后第一球的速度为v,，第二球的速度为v,12)mv2mv)mv2mv22m+m33则由速度公式得则由速度公式得23231223即dv,(m+m)(m+m)一m(m+m+m+m)mm一m2 212231223所以有m=mm时第三球的速度最大。21319.一条柔软、无弹性、质量均匀的绳子，竖直的自高处坠落至地板上，如绳子的长度为l，xxl它对地板的压力。设开始时绳子的速度为零，它的下端离地面的高度为h。：用自由落体公式和动量定理求解2dtdmdldm.v，该质量元一经由动量定理F=dp得N=dm.v=(.dl.v=(vdl=(v2=(2g(l+h一x)(此处dt2dtdtdt2的运动方程求解不断落地部分为变体dm=dx，dm=dx=v(dx<0)其速度为u=v主体和变体dtdt合dtdt合dtL桌面边缘垂直(图2.7.2)。开始时链条静止，一半从桌上下垂，求链边缘时链条的速度v。解：如图选取坐标系，以下垂段为研究对象。方法一：用变质量物体的运动方程求解作用于它们的合外力为重力和桌面上的一段对它的拉力T。ddm由密歇尔斯基方程(mv)一u=F得dtdt合uv(1)变体，速度(x段的速度)，作用于它们的合外力为桌面上的一段对它的拉力T，由ddm密歇尔斯基方程(mv)一u=F得dtdt合(2)将(2)代入(1)，并注意m=λx，方法二：用机械能守恒定律求解以下垂的一段为研究对象，以桌面为零势能位置，则由机械能守恒：21.雨滴开始自由落下时的质量为M，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为λ，略去空气解：以竖直向下为正方向，取自由落下的雨滴为主体，其质量为m=M+λt，速度为v，增加合ddmdtdt合ddmdtdt合1积分(1)式得(M+入t)v=(Mt+入t2)g+c...........(2)21MgM2g入所以s=gt2+tln(1+t)这就是雨滴在t时间后所下落的距离M讨论：由上式知s=1gt2+Mgt一M2gln(1+入t)<1gt2说明雨滴在t时间后所下42入2入2M2落的距离小于自由落体在同等时间内下落的距离。雨滴下落时其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，，试求雨滴下落速度与时间的关系解：以竖直向下为正方向，设起始时刻(t=0)雨滴半径为a，某时刻雨滴半径为r，取自由31m不断增加的水汽为变体，质量为=k.4几r2=kr2........(2)速度为u=0,作用于其的合dt2外力为雨滴的重力F=mg合dmdr=3kr2 ()3