对数函数专题讲义-2024届一轮复习

对数函数专题讲义在浩瀚的银河系里，对数简化了行星轨道运算问题。伽利略〔在浩瀚的银河系里，对数简化了行星轨道运算问题。伽利略〔15641642〕说：「给我时间，空间和对数，我可以制造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯〔17491827〕亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。最早传入我国的对数著作是?比例与对数?，它是由波兰的穆尼斯〔16111656〕和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在中，2叫真数，叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。我们一起来看看对数的神秘世界。名师寄语

【课前小测】那么的值为_____________.答案：8假如函数为奇函数，那么的值为答案：2设，那么〔〕〔A〕10 〔B〕1 〔C〕0 〔D〕1答案：B【学问框架】【学问点】对数函数的定义〔1〕对数的定义：一般地，假如满意，那么幂指数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，式子叫做对〔2〕对数函数的定义函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是〔3〕对数函数的图像：如图1所示，左图为时对数函数的大致图像，右图为时对数函数的大致图像。图1注：底数互为倒数的两个对数函数图像关于x轴对称。〔4〕对数函数的性质定义域：值域：R单调性：当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为减函数奇偶性：非奇非偶函数值变性：①当时，时，，函数值为正，时，函数值为负；②当时，时，函数值为负，时，，函数值为正。函数过定点〔5〕自然对数：通常将以无理数e为底数的对数叫做自然对数，记为，并简记为，其中无理数e=2.71828……通常将以10为底的对数函数表示为【考点分类】考点一.指数与对数的互化：〔〕把以下指数式写成对数形式：答案：★答案：要点二.对数函数的运算〔1〕对数的运算性质a．b．c．d．〔2〕换底公式：〔3〕对数恒等式：〔4〕对数式与指数式的互化：；指数函数与对数函数互为反函数。考点二.对数式的化简和运算．答案：1计算：=答案：4计算：。答案：考点三.换底公式的应用设,，试用、表示答案：由题意，可得知计算：____________.答案：0设,，试用、表示。答案：考点四.对数函数有关的函数图像设，那么〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕〔D〕答案：A设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：D函数与且在同一坐标系中的图象只可能是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：C考点五.不等式与函数假设，那么的取值范围是〔〕〔0，1〕〔B〕〔，1〕〔C〕〔0，〕〔D〕〔1，+〕答案：A【例2】假设定义域为R的偶函数在〔0，+∞〕上是增函数且那么不等式的解集是______________答案：【例3】解关于的不等式〔为常数且〕的解集。答案：即化简得到从而得到且化简得到综上可解得考点六.对数与一次二次函数函数的值域为．答案：函数的定义域是。答案：【例3】函数的定义域为的真子集，那么的取值范围是__________________.答案：考点七.对数的复合函数【例1】函数，那么=。答案：【例2】求函数的单调区间和值域.答案：依据题目可知即二次函数对称轴是可以知道二次函数的单调增区间是，单调减区间是因此函数的值域是【例3】函数求的定义域；判定的奇偶性；判定并证明的单调性．答案：即因此函数定义域是因此函数是奇函数在上分别是单调递减因此函数在上分别是单调递减【易错题】函数的定义域是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：D，以下四个函数中表示相等函数的是〔〕〔A〕与〔B〕与〔C〕与〔D〕与答案：C计算.答案：20假设，那么___________．答案：4设函数，且。〔1〕求的值；〔2〕当时，求的最大值．答案：〔1〕由于可以得到化简可得解得〔2〕由〔1〕知道即可得到设那么有在上单调递增，得到函数最大值是【课后检测】函数的定义域是。答案：2.)〔A〕14〔B〕0〔C〕1〔D〕6答案：B3.函数的定义域为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：A4.假设实数，那么的大小关系为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：A假设，那么实数的取值范围是_________．答案：6．假设，那么的取值范围是．答案：【课后作业】假设答案：假设的值等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：C,且，假设那么．答案：72计算的结果是．答案：2〔1〕计算：〔2〕解方程：〔3〕解不等式：〔4〕求函数的值域；答案：〔1〕4〔2〕2〔3〕〔4〕

函数，．(1)求函数的定义域；(2)求使函数的值为正数的x的取值范围．答案：因此其定义域是当，那么的取值范围是当，那么的取值范围是。

〔Ⅰ〕求的定义域;

〔Ⅱ〕推断在其定义域内的单调性;

〔Ⅲ〕假设在内恒为正,试比拟与1的大小.答案：因此函数的定义域是令由于，那么有所以