2022年河南省郑州市育才高级中学高三数学理联考试卷含解析

2022年河南省郑州市育才高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如右表所示.若与的回归直线方程为，则m的值是0123-11m8

A.

4

B.

C.5

D.6参考答案：A2.已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x∈[﹣1，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．利用导数求得g（x）=﹣x3+3x+1的最大值，可得a的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x∈[﹣1，2]恒成立，则当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞x+1恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．令g（x）=﹣x3+3x+1，令g′（x）=﹣3x2+3=0，x=±1，在[﹣1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函数；在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，故g（x）的最大值为g（1）=3，∴a＞3，故选：C．3.若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型3的拟合效果更好。参考答案：B略4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别是5，2，则输出的n等于(

)A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：C5.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（

）A．46,45

B．45,46

C．46,47

D．47,45参考答案：A由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.

6.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．故选：D．7.正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据正方体的全面积求得边长，由此求得体对角线长，也即外接球的直径，由此求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设正方体的边长为，则，所以，，所以正方体的体对角线长为，所以正方体外接球的半径为，球的表面积为.故选：B【点睛】本小题主要考查正方体表面积有关计算，考查正方体外接球表面积的求法，属于基础题.8.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(

)A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D【点评】本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点．9.已知集合，，则(

)Ａ.Ｂ.

Ｃ.Ｄ.

参考答案：C略10.若a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．ab＜b2 B．a2＜b2 C．lg（﹣ab）＜lg（﹣a2） D．2＜2参考答案：D【考点】不等式比较大小．【分析】根据题意，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：a＜b＜0时，ab＞b2，∴A错误；a2＞ab＞b2，∴B错误；﹣ab＜0，负数没有对数，∴C错误；由题意＜，∴＜，∴D正确．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则________.参考答案：或略12.AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：+y2=1上的一点，则的取值范围是

．参考答案：[﹣1，]

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，13.曲线在点(0,1)处的切线的方程为

．参考答案：

14.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=﹣；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=﹣2．对于下列结论：①P（﹣，﹣）；②|PQ|2=；③cos∠POQ=﹣；④△POQ的面积为．其中所有正确结论的序号有．参考答案：①②④【考点】三角函数线．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题①；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；直接由面积公式求值，然后判断真假．【解答】解：如图，对于①，由tanα=﹣，得，∴．又，且，解得：．设P（x，y），∴x=，．∴P（）．命题①正确；对于②，由tanβ=﹣2，得，又sin2β+cos2β=1，且，解得：．∴Q（）．∴|PQ|2==．命题②正确；对于③，cos∠POQ=cos（）=﹣sin（α﹣β）=﹣sinαcosβ+cosαsinβ==．命题③错误；对于④，由③得：sin∠POQ=，∴．命题④正确．∴正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．15.已知抛物线上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为

.参考答案：略16.如右图，某几何体的三视图均为边长为的正方形，则该几何体的体积是_________________．参考答案：17.与圆O：x2+y2=2外切于点A（﹣1，﹣1），且半径2的圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是．参考答案：m∈（0，4）∪（8，12）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可；（2）由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3．根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围．【解答】解：设所求圆的圆心为C（a，b），∵切点A（﹣1，﹣1）与两圆的圆心O、C三点共线，∴，又|AC|=2，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=8解得a=3，b=﹣3，∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3，∴＜＜3，∴m∈（0，4）∪（8，12）．故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m∈（0，4）∪（8，12）【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.参考答案：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：.

……2分

……4分

……5分或者：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数.易知

……2分则……5分

（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5

……6分，

，

……10分∴随机变量X的分布列为：X2345P

……11分∴随机变量X的期望为：

……12分19.已知数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2(an－1)，求证：．参考答案：（1）由，则.当时，，综上. （2）由..得证.

20.(本小题满分10分)等比数列中，，且是和的等差中项，若.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和;参考答案：21.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.参考答案：解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解法二:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），