第3讲机械能守恒定律及其应用

物理课标版第3讲

机械能守恒定律及其应用考点一

对重力势能和弹性势能的理解一、重力势能定义:物体的重力势能等于它所受重力与高度的乘积。公式:Ep=mgh。矢标性:重力势能是标量,但有正、负,其意义是表示物体的重力势能比它在① 零势能面 上的重力势能大还是小,这与功的正、负的物理意义不同。4.特点系统性:重力势能是② 地球相对性:重力势能的大小与④和③ 物体 共有的。零势能面 的选取有关。重力势能的变化是绝对的,与参考平面的选取无关。5.重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时,重力势能减小;重力做负功时,重力势能增加;重力做多少正(负)功,重力势能就减小(增加)多少,即WG=⑤

-ΔEp

。二、弹性势能1.定义:物体由于发生⑥弹性形变而具有的能。大小:弹性势能的大小与⑦ 形变量 及⑧ 劲度系数 有关,弹簧的形变量越大,劲度系数⑨ 越大

,弹簧的弹性势能⑩ 越大

。弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功,弹性势能减小;弹力做负功,弹性势能增加。如弹簧恢复原长过程中弹力做正功,弹性势能减小,形变量变大的过程中弹力做负功,弹性势能增加。注意

物体弹性形变为零时,对应弹性势能为零,而重力势能的零位置与所选的参考平面有关,具有任意性。))(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。

(

)(2)克服重力做功,物体的重力势能一定增加。

((3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。

((4)弹力做正功弹性势能一定增加。

(

)答案

(1)√

(2)√

(3)√

(4)✕1.重力势能重力势能是地球和物体组成的系统共有的,而不是物体单独具有的。重力势能(Ep=mgh)是相对的,式中的h是物体的重心到参考平面(零重力势能面)的高度,若物体在参考平面以上,则重力势能为正值;若物体在参考平面以下,则重力势能为负值,通常选择地面作为参考平面。

2.弹性势能:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大、劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。1-1

(2016四川理综,1,6分)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离,重力对他做功1

900

J,他克服阻力做功100

J。)韩晓鹏在此过程中

(A.动能增加了1

900

JC.重力势能减小了1

900

JB.动能增加了2

000

JD.重力势能减小了2

000

J答案

C

由动能定理可知,ΔEk=1900

J-100

J=1800

J,故A、B均错。重力势能的减少量等于重力做的功,故C正确、D错。1-2

(多选)关于重力做功和物体的重力势能,下列说法中正确的是(

)A.当重力对物体做正功时,物体的重力势能一定减少

B.物体克服重力做功时,物体的重力势能一定增加

C.地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值D.重力做功的多少与参考平面的选取无关答案 ABD 物体重力势能的大小与参考平面的选取有关,故C错误;重力做正功时,物体由高处向低处运动,重力势能一定减少,反之,物体克服重力做功时,物体由低处向高处运动,重力势能一定增加,故A、B正确;重力做多少功,物体的重力势能就变化多少,重力势能的变化与参考平面的选取无关,故D正确。考点二

机械能守恒的判断1.机械能守恒定律:在只有① 重力或弹力 做功的情况下,物体系统内的② 动能 和③ 势能 相互转化,机械能的总量④ 保持不变

。2.守恒表达式观点表达式守恒观点Ek2+Ep2转化观点转移观点E1=E2,Ek1+Ep1=⑤ΔEk=⑥

-ΔEpΔEA=⑦

-ΔEB))(1)被举到高处的物体重力势能可以为零。

((2)弹簧弹力做正功时,弹性势能增加。

((3)物体在速度增大时,其机械能可能在减小。

(

)(4)物体所受合外力为零时,机械能一定守恒。

(

)(5)物体受到摩擦力作用时,机械能一定要变化。

(

)答案

(1)√

(2)✕

(3)√

(4)✕

(5)✕利用机械能的定义判断(直接判断)若物体在水平面上匀速运动,其动能、势能均不变,机械能不变。若一个物体沿斜面匀速下滑,其动能不变,重力势能减少,其机械能减少用做功判断若物体或系统只有重力(或弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功,机械能守恒用能量转化判断若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体或系统机械能守恒注意

(1)当物体所受的合力为零(或合力做功为零)时,物体的机械能不一定守恒。(2)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等,除非题目特别说明,否则机械能必定不守恒。2-1 在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻质直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动;丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车,B静止,A获得一向右的初速度后向右运动,某时刻连接两车的细绳绷紧,然后带动B车运动;丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车,把用细绳悬挂的小球从图示位置释放,小球开始摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确的是

(

)甲图中小球机械能守恒乙图中小球A的机械能守恒丙图中两车组成的系统机械能守恒

D.丁图中小球的机械能守恒答案

A

甲图过程中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒;乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动),轻杆对A的弹力不沿杆的方向,会对小球做功,所以每个小球的机械能不守恒,但把两个小球作为一个系统时机械能守恒;丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功,但弹力突变有内能转化,机械能不守恒;丁图过程中细绳也会拉动小车运动,取地面为参考系,小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功,小球的机械能不守恒,把小球和小车当做一个系统,机械能才守恒。2-2

(2016课标Ⅱ,21,6分)(多选)如图,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大(

)A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差2小相等,且∠ONM<∠OMN<p

。在小球从M点运动到N点的过程中,答案 BCD 如图所示,OP垂直于竖直杆,Q点与M点关于OP对称,在小球从M点到Q点的过程中,弹簧弹力先做负功后做正功,故A错。在P点弹簧长度最短,弹力方向与速度方向垂直,故此时弹力对小球做功的功率为零,即C正确。小球在P点时所受弹簧弹力等于竖直杆给它的弹力,竖直方向上只受重力,此时小球加速度为g,当弹簧处于自由长度时,小球只受重力作用,此时小球的加速度也为g,故B正确。小球和弹簧组成的系统机械能守恒,小球在M点和N点时弹簧的弹性势能相等,故小球从M到N重力势能的减少量等于动能的增加量,而小球在M点的动能为零,故D正确。方法指导关于机械能守恒的判定要特别注意以下几点物体只受重力,只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。只有系统内弹力做功,只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧,和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。只有重力和系统内弹力做功,只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上,和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。除受重力(或系统内弹力)外,还受其他力,但其他力不做功,或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动,拉力的大小与摩擦力的大小相等,在此运动过程中,其机械能守恒。只要满足上述条件,机械能一定守恒。考点三

机械能守恒的应用三种守恒表达式的比较表达角度表达式表达意义注意事项守恒观点Ek+Ep=Ek'+Ep'系统初状态的机械能与末状态的机械能相等应用时应选好重力势能的零势能面,且初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk=-ΔEp表示系统机械能守恒时,系统减少(或增加)的势能等于系统增加

(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量和减少量,可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔEA增=ΔEB减若系统由A、B两部分组成,则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题应用机械能守恒定律的解题思路3-1

(2016课标Ⅰ,25,18分)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为5

R的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=67R,A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出)。随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,1AF=4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=4,重力加速度大小为g。(取sin

37°=3

,cos37°=4

)5

5(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。

(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平量。相距7

R、竖直相距R。求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质2解析

(1)根据题意知,B、C之间的距离为l=7R-2R

①设P到达B点时的速度为vB,由动能定理得式中θ=37°。联立①②式并由题给条件得vB=2

③gR答案

(1)2 (2)12

mgR(3)

35gR1

m5

5

32Bmgl

sin

θ-μmgl

cosθ=

1

mv2

②gR(2)设BE=x。P到达E点时速度为零,设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中,由动能定理有pmgx

sin

θ-μmgxcosθ-E

=0-

m④E、F之间的距离l1为l1=4R-2R+x

⑤122BvP到达E点后反弹,从E点运动到F点的过程中,由动能定理有Ep-mgl1

sin

θ-μmgl1

cosθ=0

⑥联立③④⑤⑥式并由题给条件得x=R

⑦Ep=12

mgR

⑧5(3)设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为11式中,已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。设P在D点的速度为vD,由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有1y

=

gt2x1=vDt联立⑨⑩式得x

=

7

R-

5

Rsin

θ

⑨2

6y

=R+

5

R+

5

R

cos

θ

⑩6

612vD=

355gR设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒,有P由E点运动到C点的过程中,同理,由动能定理有p

1

1

1联立⑦⑧式得1C

D1

m1v2

=

1

m1v2

+m1g(5

R+5

R

cos

θ)2

2

6

6122CE

-mg(x+5R)sin

θ-μm

g(x+5R)cosθ=

m

vm

=

1

m33-2

(2016课标Ⅱ,25,20分)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面

上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道

BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离;若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。答案

(1)解析(1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律,弹簧长度为l时的弹性势能为Ep=5mgl

①6gl2

2

l(2)

5

m≤M<

5

m3

2设P的质量为M,到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得②联立③⑤式得1Ep=

M

+μMg·4l2Bv2联立①②式,取M=m并代入题给数据得vB=

6gl

③2

2B

D若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,即P此时的速度大小v应满足mv2

-mg≥0

④l设P滑到D点时的速度为vD,由机械能守恒定律得1

mv2

=

1

mv2

+mg·2l

⑤vD=

⑥vD满足④式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t,由运动学公式得2l=

gt2⑦P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt

⑧2gl12联立⑥⑦⑧式得s=2

2

l

⑨(2)为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度应大于零。由①②式可知5mgl>μMg·4l

⑩要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有2B1

Mv2

≤Mgl联立①②⑩ 式得5

m≤M<

5

m3

2方法指导1.机械能守恒定律的应用技巧机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系,其守恒是有条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。如果系统只有一个物体,用守恒观点列方程较方便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化或转移的观点列方程较简便。2.涉及弹簧的能量问题的解题方法两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程,具有以下特点:(1)能量变化上,如果只有重力和系统内弹簧弹力做功,系统机械能守恒。

(2)如果系统放在水平面上,在水平方向每个物体除弹簧弹力外所受其他外力之和为零,则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。(3)当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。考点四

多物体的机械能守恒问题(含非质点模型)多物体机械能守恒问题1.多物体机械能守恒问题的一般分析方法对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式。2.多物体机械能守恒问题的三点注意

(1)正确选取研究对象。合理选取物理过程。正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。重力势能的变化与运动的过程无关,只与初、末位置有关,对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型),可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化,只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件,即可用机械能守恒定律进行求解。这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。扰动使铁链向一侧滑动,则铁链完全离开滑轮时速度大小为

(

)D.A.

2glB.

gl

C.2gl2

2gl答案

C

设铁链的总的质量为m,以铁链的下端为零势能点,则铁链的机械能为:E=2×1

mg×l

=1

mgl,