2021年广东省春季高考数学模拟试卷八（解析版）

2021年广东春季高考数学模拟试卷（8）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.已知集合〃={1,2,3,4,5},且C,“A={3},则集合A的真子集个数是（）

A.15B.8C.7D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据条件求出集合4然后再求集合A的真子集个数.

【详解】

集合M={1,2,3,4,5},且C“A={3},则A={1,2,4,5}

所以集合A的真子集个数是24-1=15个

故选：A

【点睛】

本题考集合的补集运算，和集合的真子集的个数，属于基础题.

2.如图所示的图形中，可以表示以"="|0«X<1}为定义域，以"={川0«丁《1}为值域的函

数的图象是（）

CTj-xI%

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义可判断.

【详解】

解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N：

B选项，函数定义域不是M，值域为N；

D选项，集合”中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.

3.若函数/(x)=优(a>()且a。1)在［-2,1］上的最大值为4,最小值为m,实数m的值为()

114111-1

A.—B..或彳C.—D.二或一

24216216

【答案】D

【解析】

【分析】

分类讨论。>1分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求加的值;

【详解】

函数/(x)=a'在上:

2

当0＜。＜1时，/(X)单调递减：最大值为/(-2)=32=4,最小值/(1)=。=加，即有机=g；

当。＞1时，/(X)单调递增：最大值为八l)=a=4,最小值/(一2)=。-2=根，即有加=々；

16

综上，有〃2=—或〃?=L;

216

故选：D

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题.

4.已知角e的终边经过点(3,-4),则cosg+a=()

43

A.——

55

【答案】D

【解析】

【分析】

利用诱导公式可得cos|]+a)=-sina，再利用三角函数的定义求解即可.

【详解】

y-44

因为角a的终边经过点(3,T),所以sma=：

6+(-4>5-

714

所以cos—+a=-sina=­.

25

故选D.

【点睛】

本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.

5.将函数/（x）=2sin的图象向左平移。（0＜。＜2〃）个单位后得到的图象关于直线

7[

X对称，则9的最大值为（）

12

11万5五

A.——c.—D.

6T123

【答案】A

【解析】

【分析】

平移后所得三角函数为/（%+夕）=2sin-?+2可，又因为关于平移后图像关于x=5对称,

77*k4

所以*=]+《—（k£Z）,再根据9的取值范围，即可得解.

【详解】

于（x+0）=2sin[2X一（+2夕），

2x——+2(p=—+k兀(kGZ),

71kjTZI小

^9——H——\KGZ)9

•：a<(p<2兀，

ii不

Omax=~76~•

故选：A.

【点睛】

4

本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题.

6.周长为9的三角形三边长"，h,c长度依次相差1,最大内角和最小内角分别记为a,(3,则

cos(a+/7)=(

5n561111

A.—15.--------C.——D.

16161616

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出a,b,c长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决.

【详解】

由题意得：a+8+c=9，

a+a+l+a+2=9，即a=2,b=3，c=4,

a=C<B=A,

.(心(.a2+c2-h24+16-911

一cos(«+p)=cos(A+C)=-cosBD=-----------=----------=----,

')')lac1616

故选：C.

【点睛】

此题考余弦定理的应用，属于简单题.

7.已知西=(2,3),丽=(一3»),若砺J_砺，则|丽|等于()

A.2B.>/26C.572D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函_L砺求出）'和AB的坐标,即得|而|.

【详解】

因为函J.丽，所以2乂（一3）+3^=0,，^=2.

所以。与=（_3,2）,AB=（-5,-1）,AB\=7（-5）2+（-1）2=726

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378

里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地

则此人第4天走了（）

A.6（）里B.48里C.36里D.24里

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知，每天走的里数构成以g■为公比的等比数列，由£=378求出首项，再由等比数列通项

公式可求得结果

【详解】

解：记每天走的路程里数为｛4｝，可知｛%｝是以公比4=g的等比数列，

6

4。一亚）

因为&=378,所以——4=378,解得q=192,

1--

2

所以％=192x5=24,

故选：D

【点睛】

此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前"项和公式的应用

9.已知a<0,0</><1,则下列结论正确的是（）

A.a>abB.a>ab2C.ah<ab2D.ab>ab2

【答案】C

【解析】

【分析】

对每组式子作差判断大小.

【详解】

•：a-ab=a（\-b）<Q,:.a<ab,故A错误；

■：a-ab2=+：,a<ab2>故B错误；

Vab~ab1=ah（1—b）<0,ab<abr,故C正确，D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式性质的应用，考查作差法判断大小，属于基础题.

10.如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积

为（）

正视图侧视图俯视图

A.-71B.&C.立乃D.3万

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1

的正方体，该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球求解

【详解】

•.•该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，

，该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1的正方体,

如图所示：

则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球,

•••补成的正方体的对角线长1=712+12+12=不为其外接球的直径d,

8

，外接球的表面积S=7rd2-3万＜

即该几何体的外接球的表面积为3万，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体以及几何体的外接球问题，还考查了转化化归的思想和空间想象的

能力，属于基础题.

11.若直线/过点（2,6）,倾斜角为120。，则点到直线/的距离为（）

A.3B.6C.述D.史

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

由倾斜角为120°得直线的斜率为_币,

求得直线/的方程为y=-y/3x+3石，

则点（L—6）到直线I的距离d=I：-3闽=空,

故选：C.

【点睛】

本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

12.已知直线x+y+2=()与圆f+y+zx—2y+a=0没有公共点，则实数”的取值范围为()

A.(7,0]B.[0,+8)C.(0,2)D.(-8,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.

【详解】

圆x2+y2+2x-2y+a=0即为(x+l)2+(y-l)2=2—。.

所以圆心为(一1,1),半径为行工

因为直线x+y+2=0与圆£+丁+2彳一2^+。=0没有公共点,

所以直线与圆相离

|—1+1+21rz----八

所以1——尸~'->y/2-a>0,解得0<a<2.

J2

实数a的取值范围为(0,2)

故选：C

【点睛】

设圆的半径为小圆心到直线的距离为d,当直线与圆相离时有d>r,当直线与圆相切时有d=r,

当直线与圆相交时有d<r.

13.某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240()人、高二20()()人、高三〃人

中，抽取9()人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数为()

A.20B.25C.30D.35

【答案】D

10

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为3她X30=25人，

2400

则高三抽取90—30—25=35人.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样，属于简单题.

14.若向边长为2的正方形ABCO区域内投一粒不计大小的种子（种子落入正方形ABC。区域内）,

则种子到点A的距离小于1的概率是（）

A.-RB.兀—C.兀-D.兀—

416832

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型模型，利用面积比可求得结果.

【详解】

正方形面积为2x2=4,种子落点形成的区域的面积为』x〃xl2=2，

44

兀

所以所求事件的概率为万.

7~16

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概率模型，属于基础题.

15.函数/（x）定义域为/?+,对任意x,”R+都有/（到）=/3+/（y）,又/⑻=3,则/（应）

=（）

11

A,-B.1C.-----D.«y/2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的性质可得/（8）=6/（72）,即可得解.

【详解】

••,函数/（X）对任意x,yeR+都有/（肛）=/（x）+/（y），

.•./（8）=/（2）+/（4）=/（2）+/（2）+/（2）=3/（2）=6/（^）=3,

：・”）［・

故选：A.

【点睛】

本题考查了抽象函数性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

16.圆柱的底面半径为3,侧面积为12万，则圆柱的体积为.

【答案】18万

【解析】

【分析】

12

根据底面半径为3,侧面积为12万，求得高，再代入体积公式求解.

【详解】

由已知圆柱的底面半径r=3,设高为〃，

侧面积为S=2兀rh=12兀,所以a=2,

所以圆柱的体积为丫=Sh-7rr2h=18^.

故答案为：18万

【点睛】

本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题.

17.若变量(x,y)满足^束条件卜44,则z=2的最小值为.

x+y-5>0'

【答案】7

4

【解析】

【分析】

根据约束条件得到可行域，并结合z=2的含义知z表示直线的斜率左,根据可行域求得直线？=丘

X

的最小斜率即为Z的最小值

【详解】

由已知约束条件可得可行域，且z=2表示直线>=依的斜率&=Z,如下图示

X

可知:

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查了线性规划，利用已知约束条件所得到的可行域求目标函数的最值

18.已知向量“，B=（3,—2）,且（a+q贝！|加=.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算和向量数量积运算（£+可，5,则（2+叶分=0有£/+片=o,得到，即可求

解.

由题意，(a+B)即(a+B)/=0,则£/+片=()-

14

a-b=3-2m^B=13

所以+=3-2机+13=0，所以团=8

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，根据向量垂直其数量积为0,着重考查了运算与求解能力，属于

基础题.

absinxcos**x

19.规定：行列式，=ad-bc,贝幅数尸’'的最小正周期是.

ca1cosx

【答案】n

【解析】

【分析】

利用二阶行列式的运算可得y=sinxcosx—cos2x,根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式

将函数化为y=sinxcosx-cos2x=-^sin2工一/1一；，由7=冷=%即可求解.

【详解】

L皿上.….2sin2xcos2x1J2.（乃、1

由题总可得y=sinxcosx-cosx=----------------------=——sin2x----——，

222214）2

所以7=生=不.

2

故答案为：兀

【点睛】

本题考查了二阶行列式、二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的计算

公式，属于基础题.

三、解答题

20.已知等差数列｛%｝中4=-12,%=-8,

(1)求数列｛。,,｝的通项公式明

(2)当n取何值时，数列｛%｝的前"项和S,,取得最值，并求出最值.

【答案】⑴",,=2"-14⑵当n=6或7时，S“取最小值，最小值为-42

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列定义及4,。3的值，代入即可求得公差，即可得通项公式.

(2)根据等差数列的前n项和公式，求得臬=〃2-13〃，利用配方法得关于n的二次函数，即可判

断最值，注意n取正整数.

【详解】

(1)=-12,«3=-8

/.an=-12+(n-l)x2=2n-14

-1)2

⑵S“=〃x(-12)4--^-―^X2=〃2-13〃

2

13?169

n----

2)~4~

...当n=6或〃=7时，S0取最小值，最小值为T2

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.

16

21.如图，在三棱锥P-ABC中，PALAB,PAJ.BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,O为线段AC

的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：PAJ.BD；

（2）求证：平面平面E4C；

（3）当H