2021年高考数学模拟训练卷 (一百三十)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷(130)

一、单项选择题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设集合M={/-2x<0},N={x\x<1),则MClN=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1]

2.已知aeR,若等=3+i,则a=()

A.2B.-2C.3D.4

3.已知公比为正数的等比数列{即}中，a2a6=8(14,a2：=2,则%=()

A.8B.4C.1

4.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()

A-5

・2---»

EWfi友NS9

C.4

D.6+2V3

5.若r=mmodn表示/*等于根除以及的余数，例如2=10mod4.执

行该程序框图，则输出的”等于(〕

开始

1

w=10

1

<Cj=wmod4^>^

^^ntnod5^>

/赢”/

结束

A.15B.16C.17D.18

6.已知函数/（x）=2sin3x+》（3>0）,y=/（久）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于

兀，则“X）的单调递增区间是（）

A.[k/r—专，/CTT+著],k6ZB.[/CTT+工，k/r+,k6Z

C.卜TT——,kit+_1,fcGZD.[fc?r+-,kn+-j,fcGZ

7.已知双曲线圣一，=l（a>0,b>0）的右焦点为凡。坐标原点，以。尸直径的圆与双曲线的一

条渐近线相交于O,A两点，且|0*=2|4川，则双曲线的离心率等于（）

A.V3B.V5C.~D.—■

z2

8./Q）是定义在R上的奇函数且单调递减，若/（2-a）+/（4-a）<0,则。的取值范围是（）

A.a<1B,a<3C.a>1D.a>3

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

X>1

9.已知x,y满足不等式y24,贝!]z=x+2y最大值为.

,x+y—6<0

10.设/（x）=10*+1g%,则（（1）=.

11.已知圆C与直线x-y=0及x—y+4=0都相切，圆心在直线y=-X+2上，则圆C的标准方

程为.

12.已知y=ax+2-2恒过定点A（x（）,yo）且A在直线mx+ny+1=0±,其中nm>0,则2+:的最

小值为•

13.在平行四边形ABCD中,40=4,4BAD=；,E为CC中点，若前.前=4,则AB的长为.

（\2X-l\,x<2

14.己知函数/"（x）=_2_%>2,若方程“无）一a=0有三个不同的实数解，则实数«的取

IX-11-

值范围为.

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者

和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：

男女___________

15778999

981600124589

865017256

7421180

1019

若男生身高在180c〃2以上(包括180cm)定义为“高个子”，在180cm以下(不包括180cm)定义

为“非高个子”，女生身高在170c机以上(包括170cm)定义为“高个子”，在170c〃?以下(不包

括170cm)定义为“非高个子”.

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人,则应分别抽取“高个子”、

“非高个子”各几人？

(2)从(1)中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知舟=学.

2b-ccosC

(1)求角A的值；

(2)求2s讥B-sinC的取值范围.

17.如图，PD1平面ABC。，四边形ABCQ是矩形，PD=DC=2,BC=2^2.

(I)求尸8与平面4CC所成角的大小;

(n)求异面直线PC,B。所成角的正弦值.

AB

18.已知数列｛即｝的各项均为正数，记4(n)=a1+a2+•••+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(ri)=

。3++…+an+2，其中TieN*.

(1)若%=1,a2=5,且对任意neN*,三个数A(n),B(n),C(n)依次组成等差数列，求数列

｛即｝的通项公式.

(2)%=1,对任意neN*,三个数A(n),B(n),C(n)依次组成公比为q的等比数列.求数列｛即｝

的前“项和4t公式.

19.己知抛物线丫=-/+2过其上一点「引抛物线的切线/,/与坐标轴在第一象限围成A40B,求

△AOB面积S的最小值，并求此时切线/的方程.

20.f(x)=x2—2x+alnx.

(I)若a=2,求f(x)在点(1/(1))处的切线方程;

(口)讨论/(%)的单调性.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：M={x|0<x<2}；

:.MCN=(0,1].

故选D.

可求出集合M={x|0<尤<2},然后进行交集的运算即可.

考查描述法和区间表示集合的概念，交集及其运算.

2.答案：D

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解a值.

解：由警=3+i,得2+ai=(3+i)(l+i)=2+4i,

则a=4.

故选：D.

3.答案：C

解析：解：设等比数列{每}的公比为q(q>0),

由a2a6=8。4，得a：=8a4，1"导。4=8,

q?=詈=3=4,得勺=2.

0221

AHl=—=-=1.

q2

故选：C.

设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，再由等比数列的通项公式求得首项.

本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题.

4.答案:A

解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥尸-ABC,其中P4JL底面ABC,AB1AC,AB=AC=2,

PA=2.

.1—1c?4

izr=-x2x-x22=

323

故选：A.

由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC,其中PA1底面ABC,ABA.AC,AB=

AC=2,PA=2.

本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.答案：C

解析：

本题考查的知识要点：程序框图的应用.属于基础题.

直接利用程序框图的循环结构和整除的应用求出结果.

解：根据整除的原理，利用程序框图，

执行循环前，n=10,

执行第一次循环n=11,

余数不等于1,则执行下一次循环

当n-17时,余数为2,

则输出17.

故选：C.

6.答案：C

解析：

考查了三角函数/")念小("，上+⑴相关性质，关键是先算出3的值。

・••f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于“，恰好是f(x)的一个周期,

.,.詈=兀，0)=2,•1•/(x)=2sin(2x+，

故其单调增区间应满足2时一^<2x+^<2kn+^kEZ),

ZoZ

解得k兀+

oO

故选C.

7.答案：D

解析：

本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.以0尸直径的

圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点，且|0A|=2|AF|,可得《=也利用e=Jl+$2,求

出双曲线的离心率.

解：••・以。尸为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于。，A两点，由直径所对的圆周角是直角，

••.F4垂直于这条渐近线y=

由点到直线的距离公式知尸(c,0)到渐近线y=的距离为b,

\AF\=b,在R7A04F中，\0F\=c,所以|。川=a,

又|0*=2\AF\,

b_1

a=P

・•・e=6币=争

故选。.

8.答案：B

解析:

本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性与单调区间.

利用奇函数的定义得/(2-a)</(a-4),再利用函数的单调性计算得结论.

解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减,

又由f(2-a)+/(4-a)<0得f(2-a)<-f(4-a)=f(a-4),

所以2—a>a—4,解得a<3.

故选3.

9.答案：11

(x>l

解析：解：先根据X,y满足不等式y24,画出可行

.%+y-6<0

域,

目标函数z=x+2y,经过点B时z取得最大值，

可得Zmax=1+2x5=11,

故最大值为：11,

故答案为：11.

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过y轴的截距最大,

即z最大值，从而求解.

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题.

10.答案：10仇10+总

解析：

本题考查导数的运算法则及基本初等函数导数公式，由公式求出(。)即可求解.

解：因为人久)=10x+lgx,

所以f。)=10工。10+嬴,

所以/'(1)=10仇10+

故答案为10伍10+777-

11.答案：x2+(y-2)2=2

解析：

本题考查了圆的标准方程，直线与圆相切以及点到直线的距离公式，属于基础题.

首先根据题意设圆心坐标为(a,2-a),再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出〃和

半径r,即可得到圆的方程.

解：•・•圆心在直线y=—x+2上,

・•・设圆心坐标为(a,2-a),

,・,圆C与直线％-y-0相切，

.••圆心(a,2—a)到直线x—y=O的距离为：第1=「，①

同理圆心(a,2—a)到直线x—y+4=0的距离为：甯i=r，②

联立①②得，a=0,r2=2,

・••圆C的方程为/+(y-2/=2.

故答案为/+(y-2)2=2.

12.答案：9

解析：

本题考查了利用基本不等式求最值，由已知求出A的坐标，代入直线巾x+ny+1=0,可得2rn+n=

1,故求出二+2■的最小值.

mn

解：・・・y=ax(a>0且aH1)的图象恒过定点(0,1),

・,・函数y=ax+2-2(a>0且aH1)的图象恒过定点4(一2,-1),

由点A在直线mx+ziy+1=0上，得一2m-n+1=0,

・•・2m4-n=1.

vmn>0,

21212n2m

••——F—=(2m+n)(---F-)=5H-----1-----

mnmnmn

\2n2m八

—X—=9,

>5+2mn

当且仅当m="时等号成立,

故答案为9.

13.答案：6

解析:

解：■.-AC=AB+AD,BE=BC+CE=AD-^AB,

一，，■，，一,>♦…♦i一，.>21一一,一,1——»21一>11>2

.：4=AC-BE=(AB+AD)-(AD-^AB)=AD+\AD-AB-\AB=16+打4|回吗一豺，，

|画2―2|画-24=0,

|荏|=6.

故答案为：6.

利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出.

本题考查了向量的运算法则和数量积运算法、一元二次方程的解法，属于基础题.

14.答案：(0,1)

解析：

本题考查了数形结合思想，考查方程的根以及导数的应用，考查转化思想，是一道综合题.

画出函数/Xx)的图象，求出临界值，通过图象从而求出。的范围即可.

解：作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，当0<a<l时，直线y=a与y=f(x)的图象有三个

交点，所以实数〃的取值范围为(0,1).

15.答案：解：(1)由茎叶图数据可知，“高个子”男生和女生分别有6人和4人,

所以“高个子”和“非高个子”分别是10人和20人，...(3分)

所以“高个子”应抽取10x卷=2人，“非高个子”应抽取20x5=4人；

(2)记“至少有一人是‘高个子为事件4...(6分)

设抽出的6人为a,b,c,d,m,n(其中加,"为"高个子”).

记”从a,b,c,d,m,〃中选2位”为一个基本事件，

则共有15个基本事件：

{a,b}f{a,c},{a,d},{a,m},{a,n}；

{btc,},{b,d},{b,TH},{b,n}\

{c,d},{c,m},{c,n}；

{d,n}；

{m,n}.

其中事件A包括9个基本事件：{a,m},{Q,九};{b,n)；

{c,m},{c,n}；{dtm},{d,n}；{m,n}.

由古典概型的概率计算公式知，PG4)=2=1.

答：从抽出的6人中选2人担任领座员，至少有一人是“高个子”的概率是，

解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数

之比是解题的关键.

(1)由题意及茎叶图，有“高个子”10人，“非高个子”20人，利用用分层抽样的方法计算出抽样

比，可计算出各层中抽取的人数，

(2)先计算从这6人中选2人的事件总数，再计算至少有1人是“高个子”的事件个数，代入古典概

率概率公式，可得答案.

16.答案：解：(1)在AABC中，由e=鬻，

sinA_cosA

结合正弦定理可得:

2sinB-sinCcosC

^sinAcosC=2cosAsinB—cosAsinC,

整理得：sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB,

即sin(4+C)=2cosAsinB9

即：sinB=2cosAsinB.

因为Be(0,九)，

故sinB>0,

所以：cosA—

又AG(0,7T),

所以

27r

(2)2si几8—sinC=2sin(———C)—sinC

=2(-^-cosC+1sinC)—sinC=75cosC,

因为ce（o,g）,

所以cosCG（—I，1）,

故Mcosce（-y,V3）.

所以2sinB-sinC的取值范围是（-今旧）.

解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属

于中档题.

（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinB>0,可求cosA,根据范围46（0,兀），

可求A的值.

（2）利用三角函数恒等变换的应用可得2sinB-sinC=百cosC，根据范围Ce（0,算可得cosC的范

围，得解.

17.答案：解：（I）因为PDJ•平面ABQ）,所以“BD即为P8与平面ADC所成的角.

因为四边形ABC。是矩形，所以BC1DC,

所以8D=2g，tan/PBD=丝=二r理，所以NPBC=30。.

BD2v33

即PB与平面ADC所成角的大小为30。.

（口）取PA的中点G,连接OG,DG,如图.

显然OG〃PC,所以NOOG（或其补角）即为异面直线PC,BZ）所成的角.

因为OG=：PC=VI,OD=|BD=V3,DG=^PA=V3,

所以AOGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin/DOG=旦.

6

所以异面直线PC,8。所成角的正弦值为包.

6

解析：本题考查直线与平面所成角，异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

(I)说明NPBD即为与平面ADC所成的角，证明BC_LDC,然后求解尸8与平面AOC所成角的大

小.

(II)取PA的中点G,连接OG,DG,说明以NDOG(或其补角)即为异面直线PC,8。所成的角，求

出sin/DOG=回.即可得到异面直线PC,8。所成角的正弦值.

6

18.答案：解：(1)因为对任意neN*,三个数4(n),B(n),C(n)是等差数列，

所以8(n)-A(n)=C(n)-

aa

所以cin+l-l=n+2-。2，即5+2-«n+l=a2-ar=4.

所以an=l+(n-1)x4=471-3.(5分)

(2)若对于任意neN*,三个数4(n),B(n),C(n)组成公比为g的等比数列，

则B(n)=qA(n),C(n)=qB(ri).

所以C(n)-B(n)=q[B(n)-4(n)],得an+2-a2=q(an+1-%),

即%1+2-Qan+1=a2-qa「

当n=l时,由B(l)=q4(l),可得a2=qa「

所以0n+2-qan+1=0.因为0n>0,

所以产=笠=q♦-(9分)

an+lai

(n,q=1

即数列｛an｝是首项为由，公比为4的等比数列，则Ar=W..1(12分)

解析：⑴利用等差数列的定义，可得的+1-。1=册+2-。2,从而可得数列的公差，即可求数列｛5｝

的通项公式.

(2)利用等比数列的定义，确定数列｛an｝是首项为由,公比为q的等比数列，即可求数列｛an｝的前〃

项和4n公式.

本题考查数列的应用，考查等差数列、等比数列的定义、通项与求和，属于中档题.

19.答案：解:设切点P(x。，一诏+2)(曲＞0)

由y=-x2+2得y'=-2x,

••=-2xpJ

的方程为：y-(-Xg+2)=-2x0(x-x0)...(3分)

令y=0,得x=①蛆，令％=0,得y=x^+2,

三角形的面积为S=；,弊(诏+2),和>0...(6分)

22X()

令S'=(3就-*+2)=0=沏=>0)…(8分)

4X03

当0<为<1时,S'<0;

当&>半时F>o

...x0=争寸,

Smin=9，(3展((92+2)=华,...(10分)

2亏

此时的=_延，

13

切点小》

故/的方程为2①