2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算的坐标表示

1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方

向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就

建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1.3空间向量及其运算的坐标表示1|空间直角坐标系知识点必备知识清单破2.相关概念

O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy

平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分,如图所示.

注意:(1)坐标向量i,j,k满足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.(3)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指

向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,如图所示.我们建立的坐标系一般都是

右手直角坐标系.1.如图,在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量

,且点A的位置由向量

唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量

对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z).

2|空间直角坐标系中点的坐标知识点点的位置x轴上y轴上z轴上坐标形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)2.空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如下表所示:点的位置Oxy平面Oyz平面Ozx平面坐标形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)3.空间直角坐标系中对称点的坐标空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,掌握对称点的变化规律,才

能准确求解.对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论来

解决.例如:(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);(3)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c).4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点的坐标为

.(2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为

.1.在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作

=a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作

a=(x,y,z).注意:符号(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示点,也可以表示向量,但向量与坐标之间用

“=”连接,点与坐标之间无“=”.2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;a·b=a1b1+a2b2+a3b3.3|空间向量及其运算的坐标表示知识点设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则4|空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示知识点结论坐标表示平行a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b(a≠0,b≠0)⇔a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=

=

;|b|=

=

夹角cos<a,b>=

=

(a≠0,b≠0)设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O是坐标原点,则

=

-

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),所以P1P2=|

|=

.特别地,空间任意一点P(x,y,z)到原点O的距离OP=|

|=

.5|空间两点间的距离公式知识点知识辨析1.空间直角坐标系有什么作用?2.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标?3.空间向量

(O为坐标原点)的坐标和点P的坐标有什么关系?4.点(2,1,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是什么?5.已知点A(3,4,5),则点A到原点O的距离是多少?一语破的1.空间直角坐标系可以将空间点、直线、平面数量化,将空间点、直线、平面的位置关系

解析化.2.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊

点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在

Oxy平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其

坐标.3.若点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),那么向量

的坐标也为(x,y,z).4.(2,1,-3).5.

=(3,4,5),则OA=|

|=

=5

.1.建立空间直角坐标系,利用坐标运算解决空间平行、垂直问题的方法称为“坐标法”,是

向量法中的一种.2.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行、垂直;二是已知平行

或垂直求参数.利用向量的坐标证明两直线平行或垂直的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;(2)求出有关直线的方向向量;(3)证明两直线平行即证明两直线的方向向量共线;证明两直线垂直即证明两直线的方向向

量的数量积为0;(4)还原到几何问题,得出结论.1|利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题定点关键能力定点破在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.以A为坐标原点,

,

,

的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,解决以下问题.(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标.

典例1解析如图.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1

(1,1,1).由线段中点的坐标公式,得E

,G

,H

.

(1)证明:

=(1,0,1),

=

,

=

.因为

=2

,

·

=1×

+0×

+1×

=0,所以

∥

,

⊥

,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)设M(x,y,z),则

=(x,y,z),

=(x-1,y,z).易知

=(1,1,1).由BM⊥AC1,得

·

=0,即x-1+y+z=0.①因为M在直线AC1上,所以

∥

,所以设

=μ

(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②得μ=

,所以x=

,y=

,z=

.所以点M的坐标为

.关键技巧通过建系确定点的坐标的方法:(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:①

让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的

坐标时,要通过向某两个坐标平面投影,准确找到该点在三个坐标轴上对应的实数.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=

,b=

.(1)若|c|=3,c∥

,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.典例2解析

(1)∵

=(-2,-1,2)且c∥

,∴设c=λ

=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=

=3|λ|=3,解得λ=±1.∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=

=(1,1,0),b=

=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵ka+b与ka-2b互相垂直,∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-

.关键技巧利用向量的坐标运算求向量平行与垂直类问题时要注意:①适当引入参数(比

如根据向量a,b平行,可设a=λb,λ∈R),建立关于参数的方程(组);②利用向量平行与垂直的坐

标运算求解,以达到简化运算的目的.

利用空间向量的坐标运算求异面直线所成角或线段长度的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系;(2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标;(3)利用向量数量积的坐标公式求得相关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角;利

用两点间的距离公式求出线段的长度.

注意:设异面直线l1,l2所成的角为θ,θ∈

,它们的方向向量分别为a,b,则cosθ=|cos<a,b>|.2|利用空间向量的坐标运算求夹角和长度定点在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.(1)求BN的长;(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.典例解析如图,以C为坐标原点,

,

,

为单位正交基底建立空间直角坐标系C