广东省佛山市西南第二高级中学2021-2022学年高一数学文模拟试题含解析

广东省佛山市西南第二高级中学2021-2022学年高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若且，则下列不等式成立的是

(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与

B．与

C．

D．与参考答案：D略3.数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n各项和为（

）

A、2n+1－2－n

B、2n－n－1

C、2n+2－n－3

D、2n+2－n－2参考答案：C4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.5.（4）若直线a∥直线b，且a∥平面，则b与平面的位置关系是（

）A、一定平行

B、不平行

C、平行或相交

D、平行或在平面内参考答案：D略6.（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣参考答案：C考点： 两角和与差的余弦函数．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 由角的关系式：α+β=（+α）﹣（﹣β）即两角和的余弦公式即可展开代入从而求值．解答： 解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．故选：C．点评： 本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基础题．7.已知点，,直线l的方程为，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，作出直线和点对应的图象如图：，，，，，要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或即直线的斜率的取值范围是，故选：．【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．8.对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（

）A．平行

B．相交

C．垂直

D．互为异面直线参考答案：C9.在等比数列中，，，则 A．80

B．90

C．100

D．135参考答案：D10.一汽船保持船速不变，它在相距50千米的两码头之间流动的河水中往返一次（船速大于水速）的时间为，在静止的湖水中航行100千米的时间为,则的大小关系为

A.

B.

C. D.

大小不确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A(，0)和B(0，)，又点C使∠COA=30°（O是坐标原点），且=m+n。则=

。参考答案：±12.．将底边长为2的等腰直角三角形ABC沿高线AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的体积为．参考答案：【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径OD，即可求解球O的体积．【解答】解：如图，在△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形BCD的外接圆圆半径为r，则∴AD是球的弦，DA=1，∴OM=∴球的半径R=OD=，∴球O的体积为=．故答案为：13..函数满足：，则的最小值为

.参考答案：14.数列中,,且(,),则这个数列的______________.参考答案：略15.以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是

参考答案：i>2016.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得

M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．参考答案：150【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案为：150．17.已知f（x）为奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=

．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数f（x）、g（x）的奇偶性可把已知等式化为关于f（1），g（1）的方程组，消掉f（1）即可求得g（1）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）+g（1）=2可化为﹣f（1）+g（1）=2①，∵g（x）为偶函数，∴f（1）+g（﹣1）=4可化为f（1）+g（1）=4②，①+②得，2g（1）=6，解得g（1）=3，故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足：，，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，参考答案：（1）证明见解析，；（2）见解析【分析】（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2），当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，，因为，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE．参考答案：证明：（1）连结EO，在△PAC中，∵O是AC的中点，E是PC的中点，

∴OE∥AP又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE（2）∵PO底面ABCD，∴POBD又∵ACBD，且ACPO＝O，∴BD平面PAC．而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。【分析】(1)连结OE，证明OE∥PA，即证PA∥平面BDE.(2)先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面BDE．【详解】(1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA.∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间想象转化能力.20.已知圆x2+y2=8内有一点M（﹣1，2），AB为经过点M且倾斜角为α的弦．（1）当弦AB被点M平分时，求直线AB的方程；（2）当α=时，求弦AB的长．参考答案：考点： 直线与圆相交的性质．专题： 直线与圆．分析： （1）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB，求出直线斜率即可求直线AB的方程；（2）当α=时，求出直线斜率和方程，根据直线与圆相交的弦长公式进行求解即可．解答： 解：（1）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB，，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为：，即x﹣2y+5=0…（4分）（2）当时，直线AB的斜率，直线AB的方程为：y﹣2=﹣1?（x+1），即x+y﹣1=0．…（6分）圆心O（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为，…（8分）所以弦AB的长．…（10分）点评： 本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，以及弦长公式，考查学生的计算能力．21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：34562.5344.5

（1）已知产量和能耗呈线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：参考答案：（1）由对照数据，计算得：，，，，∴，所以回归方程为.（2）当时，（吨标准煤），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨标准煤）.22.已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化为2x+﹣2≥k?2x，可化为1+（）2﹣2?≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）